Demostrar

Question

Si $a,b,c$ son bienes positivos números %#% $ #%

es cierto, prueba: $$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1

Información adicional: adicional información: sólo debemos utilizar Cauchy (preferido usado al menos una vez) y AM-GM. No se nos permite utilizar la inducción.

Cosas que he probado hasta ahora: usando la desigualdad de Cauchy dado desigualdad, puedo mostrar: $$a+b+c \geq ab+bc+ca$ $$$ (\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1})((a+b+1)+(b+c+1)+(c+a+1))\geq (1+1+1)^2 $$(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1})(2(a+b+c)+3)\geq9$ $$$ 2(a+b+c)+3\geq 9

Así que mi idea ahora es mostrar $$a+b+c\geq 3$.

Y Cauchy en problema declaración: $3\geq ab+bc+ca$ $

Answer 1

Sugerencia: utilice Cauchy-Schwarz desigualdad $$(a+b+c^2)(a+b+1)\ge (a+b+c)^2$ $ así$$ \dfrac{1}{a+b+1}\le\dfrac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2} así $$1\le \sum_{cyc}\dfrac{1}{a+b+1}\le\sum_{cyc}\dfrac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}=\dfrac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$ $ así$$ a+b+c\ge ab+bc+ac