¿Qué es la motivación para funciones continuas y funciones medibles?

Question

En la topología de los objetos del interés son los conjuntos abiertos del espacio, y una función será continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es un conjunto abierto. En teoría de la medida los objetos del interés son los conjuntos medibles, y sea una función medible si la imagen inversa de cualquier conjunto medible es un conjunto medible.

¿Qué es la motivación y la importancia de la operación "imagen inversa", y cómo esta idea se ha generalizado?

Answer 1

1. En primer lugar, unas palabras acerca de la inversa de imágenes. Si $X$ es un conjunto, entonces el powerset $\mathcal{P} X$ es un poset. Si $f: X \to Y$ es una función, entonces la inversa de la función de la imagen de $\mathcal{P}Y \to \mathcal{P}X$ es el fin-la conservación, y tiene tanto a la izquierda y a la derecha adjoints -- que significa, en particular, conserva tanto se reúne y une. La izquierda adjunto es la función de la imagen, pero que no tiene su propio izquierda adjunto, y, en consecuencia, no se une a preservar. De modo inverso de la imagen tiene mejores propiedades que la de avance de la imagen.

   Además, incluso si usted no se considera el poset estructura en $\mathcal{P}X$, siendo el homset $[X,2]$, y la inversa de la imagen es sólo de la precomposición función de $[Y,2] \overset{[f,\mathrm{id}]}{\to} [X,2]$. El avance de la imagen no admitir como una simple descripción.

2. A continuación, vamos que me acaba de escribir la evidente analogía entre espacios topológicos y medir los espacios, en un no-particularmente-de manera elegante.

   Un espacio topológico es un conjunto equipado con un geométricas sublattice (es decir, cerrado bajo finito cumple y arbitraria une) de su powerset; un mapa continuo es una función entre la compañía aérea establece cuya inversa de la imagen conserva la sublattice. Un espacio medible es un conjunto equipado con un booleano sigma-sublattice (es decir, cerrado bajo contables se reúne y une, y en virtud de complementos); un medibles mapa es una función entre la compañía aérea establece cuya inversa de la imagen conserva la sublattice.

3. Así que en cada caso tenemos un functor, en ambos casos se llama $\mathcal{P}: \mathsf{Set} \to \mathcal{C}^\mathrm{op}$ (donde $\mathcal C$ respectivamente, de la categoría de $\mathsf{GeomLat}$ geométrico de las rejillas y $\sigma \mathsf{Bool}$ de Boolean $\sigma$-celosías), y la categoría con la que estamos interesados es en la subcategoría plena de la coma categoría $(\mathcal{C}^\mathrm{op}\downarrow \mathcal{P})$ cuyos objetos son monomorphisms en $\mathcal{C}$.

   En ambos casos, $\mathcal{P}$ factores a través de $\mathcal{P}: \mathsf{Set} \to \mathsf{CompLat}^\mathrm{op}$ (aquí se $\mathsf{CompLat}$ es completa celosías y conocer y unirse a la preservación de los mapas), a través obvio olvidadizo functors $\mathsf{CompLat} \to \mathcal{C}$. También, no estoy seguro de qué tan relevante es esto, pero en ambos casos $\mathcal{C}$ es monádico $\mathsf{Set}$ (aunque el functor monádico no aparece en esta foto).

4. Creo que tanto olvidadizo functors $\mathsf{Top} \to \mathsf{Set}$, $\mathsf{Meas} \to \mathsf{Set}$ son topológicas functors. Esto tiene que ver con el hecho de que el entramado de todas las topologías (resp. el entramado de todo medible estructuras) en un conjunto $X$ es en sí mismo un completo entramado.

   Hay una teoría de la estructura de categorías topológicas $\mathsf{Set}$ que se puede leer en La Alegría de los Gatos. Estoy un poco confundido acerca de cómo se aplica a $\mathsf{Top}$$\mathsf{Meas}$, sin embargo.

5. Hay un interesante camino para la construcción de $\mathsf{Top}$ 2-categóricamente: así como el álgebra de operadores de la ultrafilter mónada, compacto y Hausdorff espacios, por lo que el lax álgebras de la ultrafilter mónada (en un apto de 2 categórica sentido) son exactamente espacios topológicos. Ver aquí para más detalles. No estoy al tanto de un análogo de la construcción de la $\mathsf{Meas}$; esto está relacionado con la discusión en los comentarios acerca de la falta de una "convergencia"-como relación para medir los espacios.

6. $[-,2]: \mathsf{Set}^\mathrm{op} \to \mathsf{Set}$ es correcto adjunto a sí mismo, y es, de hecho, monádico (esto es irrelevante, simplemente no puedo ayudarme a mí mismo mencionando). Pero para lo que vale, considere la posibilidad de que el subyacente functor $T = [[-,2],2]: \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ de la inducida por la mónada. Una topología o una medida de un conjunto de $X$ es sólo un mapa de $1 \to TX$ la satisfacción de algunas de sus propiedades. $\mathsf{Top}$ $\mathsf{Meas}$ son de este tipo, como el pleno de las subcategorías de la rebanada de la categoría $(1 \downarrow T)$, salvo que requeriría cada abierto (resp. medibles) al ser una preimagen de un abierto (resp. medibles) en orden para un mapa para ser "continuo" (resp. "medibles"); si tan sólo pudiéramos tomar un tipo adecuado de lax rebanada categoría tendríamos lo que queremos. Pero no estoy seguro de los detalles.

7. Para muchos fines, usted puede olvidarse de los puntos de un espacio topológico y sólo el trabajo con los bloques abiertos. Esta es la llamada teoría de la configuración regional. Supongo que a la gente hacer cosas similares con $\sigma$-celosías. Esto elimina una gran cantidad de la incomodidad de estos análogos descripciones, y sólo nos deja con (los opuestos) de dos naturales de las subcategorías de la categoría de las rejillas.