¿Cómo para simplificar esta expresión que las raíces de la unidad?

Question

Supongamos $\omega$ es una primitiva de la séptima raíz de la unidad. Me gustaría saber como simple expresión como sea posible para $$ \sum_{j=0}^6 (1 + \omega^j)^n. $$

El libro que estoy buscando en da $$ 2^n \left\lfloor 1+2\sum_{j=1}^3 \cos{\frac{\pi j n}{7}} \cos^n \frac{ \pi j}{j} \right\rfloor $$ sin ninguna explicación, y me pregunto cómo llegaron a esto. (También estoy preguntando si es un error tipográfico, ya que este libro parece tener muy pocos -si es correcto, como está escrito, ¿por qué no cancelar el extremo derecho de la $j$'s y reescribir $\cos^n \pi$$(-1)^n$?)

Añadió:

Motivación: este es el último paso en la simplificación de la expresión $$\sum_{k=0}^{\lfloor n / 7 \rfloor} {n \choose 7k}.$$ Este es el problema #42(f) en la sección 1 de Lovasz la Combinatoria Problemas y Ejercicios, Segunda Edición. En mi copia, el problema está en la p. 21, y la solución (lo cual tiene sentido hasta el último paso) está en la p. 195.

(Para ser claros, me han sacado de un factor de $\frac{1}{7}$ que aparece en algún lugar en el camino, pero es irrelevante para el de arriba).

Answer 1

El uso de $1+e^{2\pi i/7\;j}=2\cos\left(\pi/7\;j\right)e^{\pi i/7\;j}$, obtenemos $$ \sum_{j=0}^6(1+\omega^j)^n=2^n\sum_{j=0}^6\cos^n\left(\frac{\pi j}{7}\right)e^{\pi i/7\;nj}\etiqueta{1} $$ Observa que cada término de la suma puede ser emparejado con su conjugado, vemos que la suma es real. Por lo tanto, podemos simplemente tomar la parte real de la $(1)$, lo que produce $$ \sum_{j=0}^6(1+\omega^j)^n=2^n\sum_{j=0}^6\cos^n\left(\frac{\pi j}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi nj}{7}\right)\etiqueta{2} $$ Usando ese $\cos^n\left(\frac{\pi(7-j)}{7}\right)=(-1)^n\cos^n\left(\frac{\pi j}{7}\right)$ $\cos\left(\frac{\pi n(7-j)}{7}\right)=(-1)^n\cos\left(\frac{\pi nj}{7}\right)$ y $\cos(0)=1$, $(2)$ se convierte en $$ \sum_{j=0}^6(1+\omega^j)^n=2^n\left[1+2\sum_{j=1}^3\cos^n\left(\frac{\pi j}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi nj}{7}\right)\right]\etiqueta{3} $$

Answer 2

Creo que es algo menos misterioso de lo que parece y sólo resultó de una combinación de dos errores. La función del piso debe ser un soporte, y el $j$ en el denominador debe ser un $7$. La derivación es sencilla:

$$ \begin{align} \sum_{j=0}^6 \left(1 + \omega^j\right)^n &= \sum_{j=0}^6 \left(1 + \mathrm e^{2\pi\mathrm ij/7}\right)^n \\ &= \sum_{j=0}^6 \left(\mathrm e^{\pi\mathrm ij/7}\left(\mathrm e^{\pi\mathrm ij/7}+\mathrm e^{-\pi\mathrm ij/7}\right)\right)^n \\ &= \sum_{j=0}^6 \mathrm e^{\pi\mathrm ijn/7}\left(2\cos\frac{\pi j}7\right)^n \\ &= 2^n\sum_{j=0}^6 \mathrm e^{\pi\mathrm ijn/7}\cos^n\frac{\pi j}7 \\ &= 2^n\left(1+2\sum_{j=1}^3 \cos\frac{\pi jn}7\cos^n\frac{\pi j}7\right)\;. \end {Alinee el} $$