Cómo probar $f(x)$ es una función monotónica si $f(x+y)=f(x)f(y)$

Question

Que $f(x)$ ser una real valor diferenciable función, tal que para cualquier $x,y \in \mathbb{R}$, $f(x+y)=f(x)f(y)$. Supongamos que existen $a,b$ tal que $f(a)\neq 0, f'(b)>0$.

Que $f(x)$ es una función monotónica

He intentado utilizar el resultado de la ecuación de Cauchy para obtener: $f(x)=p^x$ $p>1$.

Me gustaría saber si hay métodos más simples.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\frac{f(h)-f(0)}{h}$, que $f'(x) = f(x)f'(0)$, y que $f$ es una función positiva.

Poniendo estos dos juntos da $f'(b) = f(b)f'(0)>0$, que $f'(0)>0$. Así para cualquier $x$, $f'(x) \geq 0$ por lo que la función es monótona creciente.

Answer 2

Distinguir la ecuación w.r.t. $x$ y (después) conjunto de $ x=0$. Esto da a $f'(y) = f'(0) f(y)$ % todo $y$y $f(y) = f(0) e^{f'(0) y}$ o % todos $y$. Esto debería permitirle completar la prueba.

EDIT: Incluso sin Oda, considerar

$$ \frac{d}{dx} \frac{f(x)} {e ^ {f'x (0)}} = \frac{f'(x) e ^ {f'x (0)}-f (x) f'(0) e ^ {f'x (0)}} {e ^ {2f'(0) x}} = 0, $$

que implica la fórmula anterior para $f(y)$.

Answer 3

Cuidado: hay un nombre para la función con el % de propiedad exponencial $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$?

Ahora suponiendo que $f(x)$ es diferenciable y continua tenemos que sólo $f(x) = e^{cx}$ satisfacer la ecuación, pero el $e^{cx}$ estrictamente creciente y por lo tanto estrictamente monótona.

Answer 4

El % de condiciones $f(x+y)=f(x)f(y)$y $f(a)\neq 0$ implican que el $f(x)\neq 0$ % todos $x\in\mathbb R$. $f$ Es continuo, puede asumir que $f$ es estrictamente positivo (o considerar $-f$ si $f$ es negativo en lugar de otro). Entonces considere la función $g(x)=\ln(f(x))$, que satisface $$g(x+y)=g(x)+g(y),\;\;g'(x)=f'(x)/f(x).$ $ ahora, $g'(x+y)=\partial_x g(x+y)=g'(x)$, que $$0<f'(b)/f(b)=g'(b)=g'(b+(x-b))=g'(x)$ $ % todos $x\in\mathbb R$. En particular, $g$ estrictamente está aumentando, y por lo tanto es $f=\exp\circ g$.

Answer 5

Voy a darle una oportunidad - sin la idea de que $f(x) = a \exp(x)$...

Dado

Deje $f(x)$ ser un verdadero valorado, función derivable tal que para cualquier $x,y \in \mathbb{R} ,f(x+y)=f(x)f(y)$. Supongamos que no existe $a,b$ tal que $f(a) \ne 0$ ,$f'(b) > 0$.

Mostrar que $f(x)$ es una función monotónica

---

Tenemos

$$\forall\ x \in \mathbb{R} : f(x) \in \mathbb{R},\tag{1}$$ $$\forall\ x,y \in \mathbb{R} : f(x+y) = f(x) f(y),\tag{2}$$ $$\exists\ a \in \mathbb{R} : f(a) \ne 0,\tag{3}$$ $$\exists\ b \in \mathbb{R} : f'(b) > 0.\tag{4}$$

---

Primero

$$ f(x) = f\left( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = f^2\left( \frac{x}{2} \right) \ge 0.\la etiqueta{5} $$

---

Segundo

$$\Big\{ \exists\ y: f(y) = 0 \Rightarrow \forall\ x: f(x) = f(x-y) f(y) = 0 \Big\} \etiqueta{6} $$

$$\Downarrow$$

$$\Big\{ \exists\ y: f(y) \ne 0 \Rightarrow \forall\ x: f(x) \ne 0 \Big\},\etiqueta{7} $$

de dónde $f(x) \ne 0$, debido a $f(a) \ne 0$. Combinación de $(5)$ $(7)$ rendimientos

$$ f(x) > 0.\la etiqueta{8} $$

---

Tercera

$$ f'(x) = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ f(x + \color{red}{y}) - f(x + \color{blue}{0})} de{y} = f(x) \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ f(\color{red}{y}) - f(\color{blue}{0})} de{y} = f(x) f'(0),\etiqueta{9} $$

de dónde

$$ f'(0) = \frac{f'(x)}{f(x)}.\la etiqueta{10} $$

Como $f'(b) > 0$$f(b) > 0$$(8)$, obtenemos

$$f'(0) > 0.\tag{11}$$

---

Cuarto

Como $f(x) > 0 $$(8)$$f'(0) > 0$$(11)$, obtenemos

$$ f'(x) > 0,\etiqueta{12} $$

de $(9)$.

---

Conclusión:

Como $f'(x) > 0$, la función de $f(x)$ es monótona. QED.