¿Qué significa exactamente la conjugación?

Question

En teoría de grupos, la definición matemática de "conjugación" es:

$$ (g, h) \mapsto g h g^{-1} $$

Pero, ¿qué significa exactamente esto, como en términos legos?

Answer 1

La mejor manera que he encontrado de pensar en la conjugación es "mirar al mismo grupo desde un punto de vista diferente". Voy a hablar de esto de forma muy intuitiva, porque es una idea difícil de formalizar. Hazme saber si quieres algunos ejemplos más concretos. Esto también ayuda a entender qué son las clases de conjugación, así como los subgrupos normales. Las clases de conjugación son conjuntos de cosas que "se ven todas igual cuando se ven de una manera diferente" y los subgrupos normales son subgrupos cuyos elementos "se ven todos igual cuando se cambia de perspectiva". Esto es más apropiado cuando el grupo en cuestión actúa sobre las cosas, porque en ese caso la conjugación suele dar un nuevo elemento con una acción muy similar.

Probablemente el ejemplo más fácil para mostrar lo que estoy diciendo es con $Mat_n(F)$ El grupo de $n\times n$ matrices sobre un campo $F$ . (y se puede pensar en el grupo que actúa en el $n\times n$ vectores sobre el campo $F$ si se quiere. Aquí, la conjugación por un invertible es lo mismo que un cambio de base. Esto nos dice que el conjugado de cualquier matriz da una nueva matriz que representa el mismo mapa lineal (por lo que la acción sobre el grupo es exactamente del mismo tipo. Aunque ahora mapeará el mismo vector a uno diferente que la matriz preconjugada, si escribes el vector original en términos de la nueva base, la nueva matriz lo mapeará al mismo vector que antes, representado en la nueva base). La naturaleza real del elemento no cambia por la conjugación, pero para ver eso ahora tienes que mirarlo con tu nuevo punto de vista siendo tu nueva base.

Otro caso es el grupo simétrico $S_n$ . (que actúa sobre un conjunto de $n$ puntos etiquetados) Aquí, la conjugación de un elemento $\rho$ por un elemento $\sigma$ digamos, las cantidades dan el nuevo mapa $\sigma^{-1}\rho\sigma$ que significa "cambiar el etiquetado de los n elementos según la transformación $\sigma$ y a continuación realizar $\rho$ en el mismo conjunto pero de acuerdo a sus nuevas etiquetas, luego enviar el reetiquetado de este conjunto transformado "deshaciendo" $\sigma$ . Esto explica el resultado bastante conocido de que los conjugados en $S_n$ todos tienen el mismo tipo de ciclo. Esto se debe a que, de alguna manera fundamental, representan la misma transformación. La razón por la que los componentes reales de los tipos de ciclo son diferentes es porque son la misma transformación, si se etiqueta el conjunto de $n$ puntos de manera diferente.

Podemos ver esto de forma aún más concreta en $D_n$ el grupo diédrico de orden $n$ el conjunto de simetrías de un regular $n-$ gon. Aquí, siempre que conjugamos una reflexión obtenemos otra reflexión. Si $n$ es impar, cada línea de simetría de reflexión pasa por una arista y un vértice, por lo que todas las reflexiones son conjugadas pero si $n$ es incluso una línea de simetría de reflexión pasa por dos aristas o dos vértices, y entonces las clases de conjugación de los elementos se dividen en el conjunto de reflexiones que pasan por las aristas y el conjunto de reflexiones que pasan por los vértices. Esto se debe a que las dos clases de reflexiones son fundamentalmente diferentes (compara un cuadrado con un pentágono para ver lo que quiero decir)

Answer 2

Te da una idea de lo conmutativo que es tu grupo. Por ejemplo, si su grupo es $\mathbb Z$ con la adición entonces para todo $g,h$ tenemos $ghg^{-1} = h$ . Como por ejemplo para $g=13, h=4$ tienes $+13 + 4 - 13 = 4$ .

Por otro lado, si su grupo no es conmutativo entonces $ghg^{-1}$ puede no ser igual a $h$ . Por ejemplo, si su grupo es el grupo simétrico, es decir, el grupo de permutaciones, digamos de $4$ elementos y $h=(235)$ y $g=(13)$ entonces $(13)(235)(13) \neq (235)$ . La primera es la función $1 \mapsto 5, 2 \mapsto 1, 3 \mapsto 3, 4 \mapsto 4, 5 \mapsto 2$ sino lo último, $h$ es la función $1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 5, 4 \mapsto 4, 5 \mapsto 2$ .

Answer 3

En realidad yo diría que la conjugación es $g\mapsto(h \mapsto g h g^{-1})$ Es decir, la mayoría de las veces se arreglará $g$ y decir la conjugación por $g$ es el mapa $h \mapsto g h g^{-1}$ . Aquí $g$ es algún tipo de automorfismo de una estructura $X$ y $h$ suele ser un endomorfismo de $X$ (así $g,h$ son mapas $X\to X$ , donde $h$ no necesita ser invertible, aunque $g$ obviamente deben serlo; también suelen ser compatibles con alguna estructura en $X$ ).

Se puede considerar un automorfismo como una simetría de la estructura $X$ , asignando cualquier $x$ a otro elemento $x'=g(x)$ que es (con respecto a la estructura de $X$ ) en todos los sentidos similar a $x$ . Conjugación de $h$ por algunos $g$ ahora significa encontrar el mapa $h':X\to X$ correspondiente a $h$ bajo la simetría de $g$ . Explícitamente, dado $x'\in X$ hay que encontrar primero el elemento $x=g^{-1}(x')$ de donde proviene bajo la simetría, y luego aplicar $h$ a $x$ y finalmente encontrar el elemento $g(h(x))$ correspondiente a $h(x)$ bajo la simetría. En definitiva, este mapa $x'$ a $g(h(g^{-1}(x)))=h'(x)$ y así hemos transformado el mapa $h$ en su contraparte simétrica $h'=g\circ h\circ g^{-1}$ .

Si uno está haciendo teoría de grupos abstractos, entonces uno considera elementos $g$ de un grupo independientemente de cualquier estructura $X$ del que podría ser el grupo de automorfismo (siempre se puede inventar una estructura de este tipo, pero no es única). Por lo tanto, en este caso no se puede dar la descripción anterior utilizando elementos $x,x'$ pero el mapa $h \mapsto g h g^{-1}$ puede definirse sólo en términos de grupo (donde ahora necesariamente $h$ tiene que estar en el grupo). Sin embargo, hay que tener en cuenta que la conjugación no se aplica sólo en el ámbito del grupo; se podría tomar $g$ para ser cualquier matriz invertible y $h$ cualquier matriz del mismo tamaño; esto también se llama conjugación.

Answer 4

Lo siguiente es equivalente al segundo párrafo de la respuesta de Marc van Leeuwen, pero creo que puede ayudar a enfatizar lo natural que es la conjugación. Con una notación como la de la respuesta de Marc, escribo $h'$ para el conjugado $ghg^{-1}$ . Entonces $h'$ se obtiene desplazando $h$ a lo largo de $g$ en el sentido de que, siempre que $h$ envía un elemento $x\in X$ a otro elemento $y$ entonces $h'$ envía $g(x)$ a $g(y)$ . Si, como la gente hace a veces, uno considera una función $h$ como un conjunto de pares ordenados, entonces $h'$ se obtiene aplicando $g$ a ambos componentes en todos esos pares ordenados.

Answer 5

La conjugación es una construcción importante en la teoría de grupos. La conjugación define una acción de grupo de un grupo sobre sí mismo y a menudo proporciona información útil sobre el grupo. Por ejemplo, con esta técnica se demuestran los teoremas de Sylow. Más importante aún, un subgrupo normal de un grupo es un subgrupo que es invariante bajo conjugación por cualquier elemento. Los grupos normales son extremadamente importantes porque son los núcleos de los homomorfismos y es posible tomar el cociente de un grupo y uno de sus subgrupos normales.