Estoy leyendo a Hartshorne, y me preguntaba si esto era cierto:
Dejemos que $A$ sea un anillo y que $U$ sea un subconjunto abierto de $Spec(A)$ . Sea $S$ sea el conjunto de elementos de $A$ no en ningún momento de $U$ . Entonces $S$ es multiplicativamente cerrado y $\mathcal{O}_A|_U \cong Spec(A[S^{-1}])$ como esquemas.
Parece que ciertamente querrías que los subconjuntos abiertos de los esquemas afines fueran afines, pero no puedo encontrar una prueba en Hartshorne. Tal vez sea demasiado "obvio" para molestarse en demostrarlo, pero aquí hay una supuesta prueba:
$S$ es obviamente cerrado multiplicativamente. El mapa $A \rightarrow A[S^{-1}]$ induce una biyección preservadora de la inclusión entre primos que no cumplen $S$ y los primos de $A[S^{-1}]$ . Afirmo que los primos en $U$ son precisamente los que no cumplen $S$ : si $U^c = V(\mathfrak{a})$ entonces demostramos que algún elemento de $S$ se encuentra en $\mathfrak{a}$ . En caso contrario, cada elemento de $\mathfrak{a}$ no está en $S$ y así $\mathfrak{a} \subset \bigcup \big\{\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \in U\big\}.$ Un resultado del álgebra conmutativa (Atiyah-MacDonald Prop 1.11) tiene entonces $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{p}$ para algunos $\mathfrak{p}$ , una contradicción. Por lo tanto, cualquier primo que no esté en $U$ contiene $\mathfrak{a}$ y así se reúne $S$ . Los primos que están en $U$ no cumplen $S$ por definición.
Esto da un homeomorfismo $\phi:U \rightarrow Spec(A[S^{-1}])$ a nivel de espacios. Ahora construimos un isomorfismo de esquemas. Sea $W$ sea un conjunto abierto de $A[S^{-1}]$ . La correspondencia de ideales da un conjunto abierto en $U$ que denotaremos $V$ . Supongamos que $F:W \rightarrow \bigsqcup_{\mathfrak{p} \in W} A[S^{-1}]_\mathfrak{p}$ es localmente una fracción. Elige $\mathfrak{p} \in W$ . Entonces dejemos que $f = \frac{a}{s} \in A[S^{-1}]$ satisfacer $\mathfrak{p} \in D(f) \subseteq W$ y elija $b \in A$ tal que $F(\mathfrak{q}) = \frac{b}{f} \in A[S^{-1}]_\mathfrak{q}$ para cada $\mathfrak{q} \in D(f)$ . Ahora bien, si $\mathfrak{p} \in D(f)$ entonces $\mathfrak{p}\cap A$ no contiene $a$ y a la inversa. Así que $D(f)$ se envía al conjunto abierto $D(a)$ en $A$ . Así que si definimos $G$ en $V$ por $G(\mathfrak{p}\cap A) = F(\mathfrak{p}) \in A[S^{-1}]_\mathfrak{p} \cong A_{\mathfrak{p}\cap A}$ y, a continuación, en $D(a)$ tenemos $G(\mathfrak{p}\cap A) = F(\mathfrak{p}) = \frac{b}{f} = \frac{sb}{a} \in A_{\mathfrak{p} \cap A}$ . Así que $G$ es localmente una fracción, y así se define $\Gamma(A[S^{-1}], W) \rightarrow \Gamma(A,V)$ y así se produce un morfismo de esquemas. En los tallos, este morfismo es un isomorfismo, por lo que el propio morfismo es un isomorfismo de esquemas.
¿Esta prueba parece correcta? Siempre temo que se me haya escapado algo sutil con estas cosas.
EDIT: He descubierto dónde está el error de la prueba. La citada proposición de Atiyah-Macdonald sólo es válida para uniones finitas de ideales primos.
