Inscribir un cuadrado en un círculo en sólo siete pasos de compás y recta

Question

Problema Este es uno de los retos que se plantean en Euclidea, una aplicación móvil de construcciones euclidianas: Dada una $\circ O$ centrado en el punto $O$ con un punto $A$ en él, inscriba $\square{ABCD}$ dentro del círculo - en sólo siete pasos elementales . Euclidea insinúa que en los dos primeros pasos se utiliza el compás, en el tercero la regla y en los cuatro últimos la regla para dibujar los propios lados de $\square{ABCD}$ .

Definiciones El problema no se considera resuelto hasta que se dibuja cada línea que contiene uno de los cuatro lados del cuadrado deseado; no basta con encontrar los vértices del cuadrado. Por supuesto, está permitido nombrar y crear puntos y, afortunadamente, no cuentan para los siete pasos elementales permitidos en este problema. Aparte de estos pasos "cero", Euclidea sólo permite dos pasos elementales, cada uno de los cuales cuesta un paso:

1. Cree una línea infinita que conecte dos puntos utilizando una regla unidimensional de longitud infinita. (Incluso la mera prolongación de un segmento de recta dado cuesta un paso).
2. Crea un círculo con un compás que se colapsa inmediatamente después.

Investigación de las preguntas anteriores de Mathematics Stackexchange Soy consciente de que existe un proceso de siete pasos descrito previamente en ¿Cómo puedo construir un cuadrado utilizando un compás y una regla en sólo 8 movimientos? . A pesar del título del post, en realidad sólo tiene siete pasos, ya que el primero corresponde a la construcción de la $\circ O$ . Sin embargo, esta solución falla, ya que el cuadrado inscrito resultante no está inscrito en la $\circ O$ ni tampoco el punto de inclusión $A$ Como vértice.

Intento 1: Solución en 8 pasos utilizando bisectrices perpendiculares

1. Dar un paso para ampliar $\overline{AO}$ al otro lado de $\circ O$ .
   • Toma como punto $C$ la nueva intersección entre dicha línea y el círculo.
2. Dé tres pasos para definir $L$ la bisectriz del diámetro $\overline{AC}$ .
   • Tomar como puntos $B$ y $D$ las intersecciones de $L$ con $\circ O$ .
3. Dibuja en cuatro pasos los propios lados de $\square{ABCD}$ .

Intento 2: solución en 8 pasos utilizando un triángulo 15-75-90 Resulta que la exitosa solución de 7 pasos de @Blue utiliza prácticamente los mismos círculos y el triángulo 15-75-90 que el propuesto aquí.

1. Da un paso para crear $\circ A$ con radio $AO$ .
   • Toma como punto $E_1$ el punto de intersección resultante de la "izquierda".
   • Toma como punto $E_2$ el punto de intersección resultante "correcto".
2. Da un paso para crear $\circ P$ con radio $E_1O$ .
3. Da un paso para crear $\circ Q$ con radio $E_1E_2$ .
   • Toma como punto $C$ el punto de intersección entre el círculo $Q$ y el círculo $O$ .
   • Toma como punto $F$ el punto de intersección entre el círculo $Q$ y el círculo $A$ .
4. Da un paso para crear $\overleftrightarrow{E_1F}$ .
   • Toma como punto $G_1$ el punto de intersección "superior" resultante con $\circ P$ .
   • Toma como punto $G_2$ el punto de intersección "inferior" resultante con $\circ P$ .
5. Da un paso para crear $\overleftrightarrow {AG_1}$ para atraer eficazmente $\overline{AB}$ .
   • Toma como punto $B$ la intersección resultante entre dicha línea y $\circ O$ .
6. Da un paso para crear $\overline{BC}$ .
7. Da un paso para crear $\overleftrightarrow{AG_2}$ para atraer eficazmente $\overline{AD}$ .
   • Toma como punto $D$ la intersección resultante entre dicha línea y $\circ O$ .
8. Da un paso para crear $\overline{CD}$ .
   • Esto completa lo deseado $\square ABCD$ aunque con un paso de más.

Answer 1

1. Construir $\bigcirc A$ a través de $O$ .

• Dejemos que $P_1$ y $P_2$ sean los puntos donde $\bigcirc A$ se encuentra con $\bigcirc O$ .

2. Construir $\bigcirc P_1$ a través de $P_2$ .

• Dejemos que $C$ sea el (otro) punto donde $\bigcirc P_1$ se encuentra con $\bigcirc O$ .

3. Construir $\overleftrightarrow{OP_1}$ .

• Dejemos que $Q_1$ y $Q_2$ sean los puntos donde $\overleftrightarrow{OP_1}$ se encuentra con $\bigcirc P_1$ .

4. Construir $\overleftrightarrow{CQ_1}$ .

• Dejemos que $B$ sea el punto donde $\overleftrightarrow{CQ_1}$ se encuentra con $\bigcirc O$ .
• Tenga en cuenta que hemos construido $\overleftrightarrow{BC}$ .

5. Construir $\overleftrightarrow{CQ_2}$ .

• Dejemos que $D$ sea el punto donde $\overleftrightarrow{CQ_2}$ se encuentra con $\bigcirc O$ .
• Tenga en cuenta que hemos construido $\overleftrightarrow{CD}$ .

6. Construir $\overleftrightarrow{AB}$ .
7. Construir $\overleftrightarrow{AD}$ .

Cuadrado $\square ABCD$ con líneas de borde construidas, se inscribe en $\bigcirc O$ . (Prueba de que el cuadrilátero es, de hecho, un cuadrado se deja como ejercicio al lector).

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Editar. Tras pedirle que se explaye sobre el cuadrado ...

• A partir del paso 2, sabemos $\triangle P_1 P_2 C$ es equilátero y que $\overline{OA}$ está en la bisectriz perpendicular del lado $\overline{P_1 P_2}$ . Por lo tanto, $\overline{AC}$ es un diámetro de $\bigcirc O$ y tenemos que $\angle ABC$ y $\angle ADC$ (para el punto $D$ construido posteriormente) son ángulos rectos por Teorema de Tales .

• A partir del paso 4, según lo observado por Jan y Tristán en los comentarios, $\overline{Q_1 Q_2}$ es un diámetro de $\bigcirc{P_1}$ Así que $\angle Q_1 C Q_2$ es un ángulo recto. Por lo tanto, $\square ABCD$ es al menos un rectángulo.

• Ahora, define $a := |\overline{OA}|$ para que $|\overline{P_1P_2}| = a\sqrt{3}$ y $|\overline{OQ_1}| = a( 1 + \sqrt{3})$ . Desde $\angle AOQ_1 = 60^\circ$ si dejamos que $R$ sea el pie de la perpendicular de $Q_1$ a $\overleftrightarrow{OA}$ entonces $|\overline{OR}| = \frac{a}{2}( 1 + \sqrt{3})$ y $$|\overline{Q_1R}| = \frac{a \sqrt{3}}{2}(1+\sqrt{3}) = \frac{a}{2}(3 + \sqrt{3}) = a + |\overline{OR}| = |\overline{CR}|$$ Así, $\angle Q_1 C R = 45^\circ$ y podemos concluir que $\square ABCD$ es un cuadrado. $\square$

Answer 2

Por si sirve de algo, la siguiente solución también construye un círculo inscrito en siete pasos elementales. Por desgracia, el punto original no está en el cuadrado, por lo que Euclidea no lo reconoce, pero tiene una simetría agradable de la que carece la otra solución de siete pasos.

Answer 3

Sólo como una nota, la respuesta proporcionada por mí y la proporcionada por Blue, ambas crean ángulos de 15 grados sin utilizar la construcción tradicional de ángulo-bisección. Puede ser útil en otras situaciones.