Convergencia en $L^q$ de una $L^p$-limita la secuencia $q<p$

Question

Vamos $1< p < \infty$, $\{f_n\}_n \subset L^p[0,1]$ s.t. $f_n:[0,1] \to \mathbb{R}$, $f_n \to f$ una.e., y $||f_n||_{L^p} \leq M < \infty$ todos los $n$. Entonces, dado $1 \leq q < p$, queremos mostrar que $f_n \to f$$L^q$.

Creo que se puede mostrar este resultado mediante el uso de la Rellich-Kondrachov teorema (es decir, $L^p \hookrightarrow L^q$ forma compacta para $q < p$) para extraer un convergentes larga en $L^q$. A continuación, puede utilizar el hecho de que $f_n \to f$.e. para demostrar que toda la secuencia debe converger a$f$$L^q$.

Sin embargo, me preguntaba si este enfoque puede ser un poco excesivo, y si debo ser el uso de algunos menos dominado herramientas para probar la declaración (suponiendo que el argumento anterior es válido).

Answer 1

La idea es que desde $f_n$ converge a $f$ pointwise, converge a $f_n$ casi de manera uniforme, lo que significa que para cualquier $\epsilon > 0$ uno puede eliminar un conjunto $A$ de medida $< \epsilon$ y, a continuación, $f_n \rightarrow f$ uniformemente en $[0,1] - A$. Entonces por el teorema de la convergencia uniforme $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{[0,1] - A} |f_n - f|^q = 0$.

Hasta ahora no hemos usado ese $q < p$. Pero por el Titular de la desigualdad, aplicado a $f_n^q \times 1$ y los exponentes ${p \over q}$ ${p \over p - q}$ $$\int_A|f_n - f|^q \leq |A|^{p - q \over q}(\int_A|f_n - f|^p)^{q \over p}$$ $$\leq |A|^{p - q \over q}(\int_0^1|f_n - f|^p)^{q \over p}$$ $$ < C\epsilon^{p - q \over q}$$ Aquí $C$ depende de $M$ (e implícitamente de uso $||f||_p \leq M$ que puede obtener utilizando Fatou del Lema). La combinación con la convergencia uniforme de $A$, esto implica que $$0 \leq \limsup_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 |f_n - f|^q < C\epsilon^{p - q \over q}$$ Esto es cierto para todos los $\epsilon > 0$, por lo tanto, dejar $\epsilon \rightarrow 0$ obtener $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 |f_n - f|^q = 0$$