¿Qué aspecto las involuciones de una curva elíptica?

Question

Cada automorphism $\varphi \in \mathrm{Aut}(E)$ de una curva elíptica $E$ (con base punto de $O$ sobre un campo $k$) puede ser escrita $\varphi = \tau_Q\phi$ donde $\phi \in \mathrm{Aut}(E,O)$ es un isogeny y $\tau_Q$ es una traducción por $Q \in E$ (Silverman, La Aritmética de Curvas Elípticas, p. 71), por poner $Q = \varphi(O)$$\phi = \tau_{-Q}\varphi$.

Supongamos $\varphi$ es una involución, por lo $\varphi^{-1} = \varphi$, e $\varphi = \tau_Q\phi$ anterior. ¿Qué podemos decir acerca de $\tau_Q$$\phi$?

Si $\phi = \mathrm{id}_E$, $\varphi = \tau_Q$ donde $Q$ es un punto de orden 2.

Si $\phi = [-1]$, $\varphi(P) = Q - P$ algunos $Q \in E$.

Creo que estas son las únicas posibilidades, pero no veo cómo demostrarlo. Estoy más interesado en el caso de que $k$ tiene de característica cero, en cuyo caso $[-1]$ es la única isogeny de orden 2, debido a que $\mathrm{Aut}(E,O)$ es cíclico de orden 2, 4, o 6 (p. 103). Podemos de alguna manera demostrar que $\phi$ no se puede tener un orden mayor que 2? A continuación, nos gustaría hacer.

El uso de $\varphi^{-1} = \phi^{-1}\tau_{-Q}$, la condición para $\varphi$ es una involución, en $\phi^2(P) + \phi(Q) = P - Q$. Esto puede ser útil, pero no estoy seguro de como soy bastante sueño.

Gracias de antemano por vuestras respuestas.

Answer 1

Bueno, $(\tau_Q\phi)^2=\tau_Q\phi\tau_Q\phi$, y desde $\phi\tau_Q=\tau_{\phi(Q)}\phi$, obtenemos que $(\tau_Q\phi)^2=\tau_{Q+\phi(Q)}\phi^2=\mbox{id}$. En particular, $\phi(Q)=-Q$ (desde $\phi(0)=0$) así que realmente tenemos que $\phi^2=\mbox{id}$. Esto significa que el $\phi=\pm\mbox{id}$.

Conclusión: Si lo $\phi=-\mbox{id}$, cualquier $Q$. Si $\phi=\mbox{id}$, entonces el $Q$ debe ser un punto de torsión 2.