Mostrando $E(\Omega)$ es un espacio de Hilbert

Question

Deje $E(\Omega)=\{ u\in \{L^2 (\Omega)\}^n : \text{div } u \in L^2(\Omega)\}$ $E(\Omega)$ se compone de vector de funciones con valores de $u=(u^1, \cdots , u^n)$ donde cada componente de la función $u^i$, $i\in \{ 1, \cdots n\}$ es una $L^2(\Omega)$ función y $\frac{\partial u^1}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial u^n}{\partial x_n}\in L^2(\Omega)$.

Queremos mostrar que en virtud de la norma inducida por este producto interior

$$(u,v)_{E(\Omega)}=\sum_{i=1}^{n} (u_j, v_j)_{L^2(\Omega)}+(\text{div } u, \text{div }v)_{L^2(\Omega)}$$

$(E(\Omega), ||.||_{E(\Omega)})$ es un Espacio de Hilbert.

Esto es lo que logramos hacer.

Supongamos $\{u_m=(u^1, \cdots , u^n)\}_{m\in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $(E(\Omega), ||.||_{E(\Omega)})$.

Fix $i \in \{1,\cdots, n \}$. Porque $(u^i_m-u^i_l, u^i_m-u^i_l )$=$||u^i_m-u^i_l ||^2_{L^2(\Omega)} \leq ||u_m-u_l||^2_{E(\Omega)}$ y el hecho de que $\{u_m=(u^1, \cdots , u^n)\}_{m\in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $(E(\Omega), ||.||_{E(\Omega)})$, podemos ver que $\{u^i_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ es de Cauchy en $L^2(\Omega)$. Por la integridad de $L^2(\Omega)$, llegamos a la conclusión de que $u^i_m \rightarrow u^i \in L^2(\Omega)$ $L^2$ norma $m\rightarrow \infty$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $u=(u^1, \cdots, u^n) \in \{L^2(\Omega)\}^n$.

También tenga en cuenta que

$$(\text{div }(u_m-u_l), \text{div }(u_m-u_l))_{L^2(\Omega)}=||\text{div } u_m - \text{div } u_l||^2_{L^2(\Omega)}\leq ||u_m-u_l||^2_{E(\Omega)}$$

Por lo tanto $\{\text{div } u_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ es de Cauchy en $L^2(\Omega)$. De nuevo por la integridad de $L^2(\Omega)$, podemos concluir que $\text{div } u_m \rightarrow g\in L^2(\Omega)$ $L^2$ norma $m \rightarrow \infty$.

Ahora a $u \in E(\Omega)$, debemos mostrar $\text{div } u$ existe y es también en $L^2(\Omega)$. Esto se logra mediante la muestra $g=\text{div }u$. Pero aquí es donde me quedo pegado, ¿cómo podemos mostrar esta última parte? Yo no sé ni que la derivada parcial de $u^i$ existe.

Gracias.

Answer 1

Debemos mostrarles a $\operatorname{div} u$ existe y es también en $L^2(\Omega)$. Esto se logra mediante la muestra $g=\operatorname{div}u$. Pero aquí es donde me quedo pegado, ¿cómo podemos mostrar esta última parte?

Como he dicho en los comentarios, la divergencia de $u$ es en realidad el débil divergencia de $u$. Primero la definición de los débiles derivados de una $L^2$integrable función de $v$: $$w := \text{Débiles derivados de }v \text{ w.r.t }x_i \ffi \int_{\Omega} w \phi = -\int_{\Omega} v \,\partial_{x_i}\phi\etiqueta{$\star$}$$ para cualquier función suave $\phi$ con soporte compacto en $\Omega$ (esta es la función de prueba de espacio, se denota como $C^{\infty}_c(\Omega)$). Ahora si podemos decir $\partial_{x_i} v$, que en realidad significan $w$$(\star)$.

La débil divergencia se define en forma similar: $$g := \operatorname{div} u \ffi \int_{\Omega} g \phi = -\int_{\Omega} u \cdot \nabla \phi, \quad\text{para cualquier } \phi\C^{\infty}_c(\Omega).\la etiqueta{1}$$ Lo que quiero mostrar es justo ahora (1) posea. Ahora vamos a utilizar la definición de la debilidad de la divergencia en $u_m$: $$\int_{\Omega} \phi \operatorname{div} u_m = -\int_{\Omega} u_m \cdot \nabla \phi.$$ Aviso $$\operatorname{div} u_m \g \;\text{ en }\|\cdot\|_{L^2(\Omega)} \implica \int_{\Omega} \phi \operatorname{div} u_m \a \int_{\Omega} \phi g , \\ u_m \u \;\text{ en }\|\cdot\|_{L^2(\Omega)} \implica \int_{\Omega} u_m\cdot \nabla \phi \a \int_{\Omega} u\cdot \nabla \phi.$$ Por qué estos dos convergencia resultados son verdaderas? De Cauchy-Schwarz desigualdad es tu amigo (a la izquierda). Por lo tanto (1) se mantiene, y $\operatorname{div} u = g\in L^2(\Omega)$.

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Yo no sé ni que la derivada parcial de $u^i$ existe.

Buena llamada. La derivada parcial de $u^i$ no puede existir pointwisely en efecto, es bien definido en la distribución sentido, una.k.un., $(\star)$ sostiene que si cambiamos $v$ como un componente de $u$ (el hecho de que cada componente de $u$ $L^2$integrable se usa así).

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Historia: El espacio de $E(\Omega)$ aquí está la famosa $H(\operatorname{div})$ espacio. Cualquier análisis funcional libro que cubre flujo incompresible, o ecuaciones de Navier-Stokes, debe tener su introducción. La prueba de $H(\operatorname{div})$ es de Hilbert muy similar a la de $H^1 := W^{1,2}$, por lo que supongo que la mayoría de libro iba a dejar esto como un ejercicio. $H(\operatorname{div})$ es la culminación de la suave campos vectoriales en el gráfico de la norma (la $H(\operatorname{div})$-norma): $$\left(\|\cdot\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|\operatorname{div}(\cdot)\|_{L^2(\Omega)}^2\right)^{1/2}.$$