$\int_0^\infty \frac{1}{x^2}\left( \left(\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)\right)-\sin(x)\right)\ dx$

Question

Mientras estaba trabajando en mis cosas, otra pregunta llegó repentinamente a la mente, que ves a continuación

$$\int_0^\infty \frac{ \left(\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)\right)-\sin(x)}{x^2} \ dx$$

¿Qué debo buscar en este integral?

Answer 1

Usted puede escribir integral como $$\int_0^\infty t^{-2} \sum\limits_{\nu \geqslant 1} g_\nu (t)dt=\int_0^\infty t^{-2}g(t)dt$$ where $g_\nu (t) = \sin(t/2^\nu)-\sin (t) / 2 ^ {\nu-1} $ and $ g (t) = \sum\limits_ {\nu\geqslant 1} g_\nu (t) $. Using an equation relating $ g (2t) $ and $g (t) $ and a change of variables $t = 2u $ in the integral I get that $% $ $\int_0^\infty \frac{g(t)}{t^2}dt=\int_0^{\infty}\frac{2\sin t-\sin 2t}{t^2}dt$

Este es un tipo de Frullani integral que puede evaluar al $2\log 2$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\begin{align} \int_0^\infty\frac{\lambda\sin(x)-\sin(\lambda x)}{x^2}\mathrm{d}x &=\lim_{a\to0}\left(\int_a^\infty\frac{\lambda\sin(x)}{x^2}\mathrm{d}x-\int_{a\lambda}^\infty\frac{\lambda\sin(x)}{x^2}\mathrm{d}x\right)\\ &=\lambda\lim_{a\to0}\int_a^{a\lambda}\frac{\sin(x)}x\frac{\mathrm{d}x}x\\[6pt] &=\lambda\log(\lambda)\tag{1} \end {alinee el} % de aplicación de $$ $(1)$a la pregunta da $$\begin{align} \int_0^\infty\frac1{x^2}\left(\left(\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)\right)-\sin(x)\right)\mathrm{d}x &=\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty\frac{\sin(2^{-n}x)-2^{-n}\sin(x)}{x^2}\mathrm{d}x\\ &=-\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\log\left(2^{-n}\right)\\ &=\log(2)\sum_{n=1}^\infty n2^{-n}\\[6pt] &=2\log(2)\tag{2} \end {Alinee el} $$