Conservación del ímpetu angular de un cuerpo rígido que gira sobre un punto fijo

Question

La imagen de un cuerpo rígido como un martillo. Imagino que la base del mango está unido a un punto fijo de tal manera que puede girar pero no traducir. Doy el martillo de un buen empujón para conseguir rotar lateralmente sobre el punto de pivote, con su velocidad angular del vector apuntando hacia arriba. (Tenga en cuenta que NO rotan alrededor de su centro de masa.) Suponga que no hay fricción, pero la gravedad está presente. Tenga en cuenta también que no es en el plano horizontal debido a la fuerza de la gravedad. La ruta de acceso del cuerpo describe un cono superficial.

Aquí está mi pregunta: a mí me parece que el cuerpo se iba a girar para siempre con su velocidad angular del vector apuntando hacia arriba. Por lo que la tasa de cambio de la velocidad angular es cero. Pero hay una red de par de torsión en el cuerpo sobre el punto de giro debido a la fuerza de la gravedad. Esta red de par implica que debe haber una tasa de cambio de la velocidad angular. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Hay un par, pero apunta hacia un lado, perpendicular a la orientación de la hammer en cualquier momento. Debido a esto, como el martillo de la gira, la dirección del par de torsión también gira alrededor con él. El par sólo actúa para rotar el sistema horizontalmente alrededor en el espacio, de no cambiar la dirección de su velocidad angular.

Vamos a ver esto con un cálculo. Supongamos que el modelo de la hammer como una varilla de longitud $L$ y la masa de $m_r$ con un punto de masa $m_p$ en la final.

El momento de inercia de la hammer en este momento puede ser calculada tomando el momento de inercia de una configuración similar alineados a lo largo de la $x$ eje y la rotación por un ángulo de $-\theta$ $y$ dirección:

$$\begin{align}I &= R_y^{-1}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{mL^2}{3} + m_pL^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{mL^2}{3} + m_pL^2\end{pmatrix}R_y \\ y= \begin{pmatrix}ML^2\sin^2\theta & 0 & -ML^2\sin\theta\cos\theta \\ 0 & ML^2 & 0 \\ -ML^2\sin\theta\cos\theta & 0 & ML^2\cos^2\theta\end{pmatrix}\end{align}$$

donde $R_y$ es la matriz de rotación alrededor de la $y$ eje y $M = \frac{m_r}{3} + m_p$. Calcular el momento angular de usar $\vec{L} = I\vec\omega$ donde $\vec\omega = \omega\hat{z}$, me sale

$$\vec{L} = ML^2\cos\theta(\hat{z}\cos\theta - \hat{x}\sin\theta)$$

A la par, por otro lado, es

$$\vec\tau = \vec{r}\times\vec{F} = (\hat{x}\cos\theta - \hat{z}\sin\theta)\times (-mg\hat{z}) = mg\hat{y}\cos\theta$$

Por lo que el par de torsión en realidad empuja el momento angular en una dirección perpendicular a su dirección y la orientación de la hammer. Esto significa que no habrá ningún cambio en la cantidad de momento angular. También significa que el martillo gira junto con todo lo demás, de modo que el momento angular y el momenta de inercia de preservar su orientación relativa y por lo tanto no habrá ningún cambio en su velocidad angular.

Answer 2

Lo que te falta es que la velocidad angular y el momento angular no apuntan en la misma dirección. La velocidad angular es la velocidad angular y el momento angular es el momento angular. Los dos son sólo proporcional para un objeto como una esfera, donde los tres momentos principales de inercia son iguales. Con el fin de tener una velocidad angular constante para una rigidez de rotación del martillo (que sólo es rígida giratoria para un conjunto de parámetros de la condición inicial, la cual no incluye la que se describe, a partir de la horizontal), el momento angular se ha precede alrededor del eje, y esta precesión requiere el constante movimiento de torsión.

Answer 3

Muchas gracias a todos por su aporte. Después de leer todas sus respuestas, mi error fue suponer que la dirección del momento angular era la misma que la dirección de la velocidad angular. En realidad no lo es. Así que a pesar de la magnitud y la dirección de la velocidad angular no cambia, la dirección (pero no de la magnitud) del momento angular no cambia como el cuerpo gira alrededor del pivote. Este cambio en el momento angular es consistente con el par aplicado por la fuerza de la gravedad.

Me = más inteligente ahora. Gracias!