Si un polinomio $g$ divide $f$ y $f'$ entonces $g^2$ divide $f$ ?

Question

He aquí un problema de deberes de Álgebra de Artin con el que estoy teniendo muchos problemas

Sea $f(x) \in F[x]$ (donde $F$ es un campo de característica $0$ ). Si $g$ es un polinomio irreducible que es divisor común de $f$ y $f'$ entonces $g^2$ divide $f$ (donde $f'$ denota la derivada de $f$ en $F[x]$ ).

Sea $K$ sea una extensión de $F$ tal que $f$ se divide completamente en $K$ . Así que podemos escribir $f(x) = \prod_{i=1}^n (x - \alpha_i)$ para algunos $\alpha_i \in K$ . Porque $g$ divide $f$ en $F[x]$ sabemos que $g$ divide $f$ en $K[x]$ . Desde $g$ divide $f$ podemos escribir $g(x) = \prod_{j=1}^m (x - \alpha_{i_j})$ . Porque $g$ es un divisor común de $f$ y $f'$ las raíces $\alpha_i$ tienen alguna multiplicidad mayor que $1$ de modo que $(x - \alpha_i)^2$ dividir $f$ para cada $i$ (**). A continuación, $g^2$ divide $f$ .

Creo que es la idea correcta, aunque da la sensación de que hay algunos agujeros en el argumento (concretamente la frase marcada con (**) al final). Tampoco creo que haya utilizado el supuesto de que $g$ es irreducible. ¿Te parece bien?

Answer 1

Hay que tener mucho más cuidado con el paso (**). Concretamente, ¿qué pasa si hay raíces repetidas? Por ejemplo $f = (x - 1)^3$ y $g = (x - 1)^2$ rompería tu argumento. Por supuesto eso no es un contraejemplo al teorema porque el $g$ que he enumerado no es irreductible.

Creo que pasar a una extensión de campo es más complicado de lo que necesita esta prueba. Mi sugerencia es empezar diciendo $f = gk$ y luego tomar la derivada de $f$ utilizando la regla del producto. Al final querrá concluir que $g$ divide $k$ para que entonces $g^2$ divide $f$ .

Answer 2

Ya hay buenas respuestas a la pregunta en sí, pero permítanme mostrar por qué la característica cero es necesaria para el ejercicio.

Sea $F$ sea un campo imperfecto de característica $p\gt 0$ y que $a\in F$ sea un elemento que no sea el $p$ -enésima potencia de un elemento de $F$ En otras palabras $a\in F\setminus F^p$ .
El polinomio $f(x)=g(x)=x^p-a\in F[x]$ es entonces irreducible (véase aquí ) .
Pero aunque $g$ divide $f$ (ya que $g=f$ ) y también divide $f'$ (ya que $f'=0$ ), $g^2=f^2$ no divide $f$ la afirmación del ejercicio falla en la característica positiva.

Answer 3

Desde $g(x)$ divide $f(x)$ se tiene $f(x) = g(x)h(x)$ para algunos $h(x)$ . Tomando derivadas, se tiene $$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$

Desde $g(x)$ divide $f'(x)$ divide $f'(x) - g(x)h'(x) = g'(x)h(x)$ . Desde $g(x)$ es irreducible, es primo, así que como divide a $g'(x)h(x)$ debe dividir $g'(x)$ o $h(x)$ .

Pero $g'(x)$ es de grado inferior a $g(x)$ Así que $g(x)$ debe dividir $h(x)$ . Por lo tanto $f(x) = g(x)h(x) = g(x)^2p(x)$ para algún polinomio $p(x)$ .

Answer 4

Derivar la relación $f(x) = g(x) k(x)$ .
Entonces, observe que los polinomios $g$ y $g'$ son relativamente primos (ya que $g$ es irreducible).