¿Cuando hace ' positivo ' implica ' suma de cuadrados '?

Question

¿Alguien tiene ejemplos de cuando un objeto es positivo, entonces se tiene (o no tiene) una raíz cuadrada? O, más en general, puede ser escrita como una suma de los cuadrados?

Ejemplo. Un entero positivo no tiene una raíz cuadrada, pero es la suma de más de 4 plazas. (Teorema De Lagrange). Sin embargo, un número real positivo tiene una raíz cuadrada.

Otro Ejemplo. Una verdadera forma cuadrática que es positivamente definido (o semi-definido) es, después de un cambio de coordenadas, una suma de cuadrados. ¿Y racional, integral o cuadráticas formas?

El Último Ejemplo. Una positiva definida (o semidefinite) real o compleja matriz tiene una raíz cuadrada. ¿Y racional o integral de las matrices?

¿Tienes otros ejemplos?

Answer 1

Para muchos ejemplos de este tipo, vea Olga Taussky, "Suma de cuadrados", Amer. matemáticas. Mensual 77 (1970) 805-830.

Answer 2

Un elemento de $\mathbb{R}[x]$ es una suma de dos cuadrados si es no negativo como una función en $\mathbb{R}$. Esto puede observarse teniendo en cuenta que sus raíces reales tiene incluso la multiplicidad, su irreductible cuadrática factores son de la forma $(x-a)^2+b^2$, un producto de sumas de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados, y una plaza de veces una suma de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados.

Ver Qiaochu la pregunta de Hilbert del 17 de problema de lo que ocurre en más de una variable.

Answer 3

Encontrar un ejemplo muy bonito, por Neuquen, creo que después de la publicación de matemática americana de Taussky. Documento mensual mencionado en la respuesta de Michael Lugo, es

$$x^2y^4 + x^4y^2 +1 - 3 x^2y^2$$

que también se puede escribir como

$$ \frac{x^2y^2(x^2 + y^4-2) ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) + (x ^ 2 - y ^ 2) ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2}, $$

sin embargo, no es una suma de cuadrados de polinomios. (Aprendí este ejemplo en una charla por K. Schmudgen).

Answer 4

Creo que tu pregunta vidas de manera más natural en la categoría de ordenada de los anillos.

He aquí un ejemplo: un campo puede ser ordenado iff es formalmente real: es decir, iff -1 es no una suma de cuadrados. Sin embargo, más es cierto: si x es cualquier elemento de un campo K de característica distinta de 2, que no es una suma de cuadrados, entonces existe un orden < K en la que x es negativo. Por lo tanto, cualquier campo en el que se admite más de un pedido tendrá elementos positivos que no son las sumas de cuadrados. Por ejemplo, en Q(\sqrt{2}), con la convención habitual, \sqrt{2} es positivo, pero no es una suma de cuadrados, debido a que en un orden diferente (aquí, un ajuste del dado ordenar por un campo automorphism!) es negativo.

Otro Ejemplo: No, una positiva definida racional o integral de la forma cuadrática no necesita ser equivalente a una suma de cuadrados. Por ejemplo, las formas cuadráticas x^2 + y^2 y x^2 + 2y^2 no son equivalentes a más de Q. Para una cosa, el discriminante de la forma cuadrática (= el producto de los coeficientes, para una diagonal de forma cuadrática) está bien determinado hasta una plaza en el campo de tierra. Por lo que se remite al hecho de que en R, cada número positivo es un cuadrado, pero no en Q.

Para matrices: mira el 1x1 caso!

Como se mencionó antes, otro caso de este es de Hilbert 17 de problema: sea K un orden de campo real con cierre R. (Por simplicidad se acaba de tomar K = R = los números reales!) Sea f en K(x_1,..,x_n) ser una función racional tal que para todo (a_1,...,a_n) en R^n, en el cual f es definida, f(a_1,...,a_n) >= 0. A continuación, hay funciones racionales g_1,l..,g_m en K(x_1,...,x_n) tal que f = g_1^2 + ... + g_m^2.

Answer 5

Hay Teorema de Riesz Guayas: un polinomio trigonométrico positivo se puede expresar como el cuadrado de la norma de un polinomio complejo.

Teorema de Riesz Guayas generaliza de polinomios trigonometricas funciones integrables como teorema de Szegö.