Estoy tratando de mostrar que,
Si $$f\left( x\right) =a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{k}x^{k}$$ $$\dfrac {1} {n}\left\{ f\left( x\right) +f\left( wx\right) +\ldots +f\left( w^{n-1}x\right) \right\} =a_{0}+a_{n}x^{n}+a_{2n}x^{2n}+\ldots +a_{\lambda n}x^{\lambda n}$$ $w$ being any root of $x^n=1$(except x= 1), and $\lambda n$ the greatest multiple of n contained in $k$. Show there is a similar formula for $a_{\mu }+a_{\mu +n}x^{n}+a_{\mu+2n}x^{2n}+\dots,$ where $0 < \mu < n$.
Ahora sé que la pregunta presenta un resultado en la primera instrucción y se supone que debo mostrar el resultado en la segunda afirmación, sino como un reto o para la diversión de ella tenía la esperanza de probar ambos, a Pesar de que hice n de que no se consiga mucho más.
Comenzando con el lado izquierdo de la primer resultado $$\dfrac {1} {n}\left\{ f\left( x\right) +f\left( wx\right) +\ldots +f\left( w^{n-1}x\right) \right\} $$ Pensé en sustituir los valores de esas funciones y, a continuación, la combinación de los términos $$\dfrac {1} {n}\left\{(a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{k}x^{k}) + (a_{0}+a_{1}wx+\ldots +a_{k}w^{k}x^{k} )+ \dots+ (a_{0}+a_{1}w^{n-1}x+\ldots +a_{k}w^{k(n-1)}x^{k}) \right\} $$
$$=\dfrac {1} {n}\{na_{0}+a_{1}x\left( 1+w +\ldots +w^{n-1}\right) +\dots+a_{k}x^{k}\left( 1+w^{k}+\ldots +w^{k(n-1)}\right) $$
Ahora sé que $\left( 1+w +\ldots +w^{n-1}\right) = 0$ y el de mi scratch trabajo prueba de que he altamente sospechoso que $\left( 1+w^{p}+\ldots +w^{p(n-1)}\right) =0 $ siempre que p no es divisible por n (p mod n > 0). Aunque cuando p es un múltiplo de n tenemos positiva, pero sin definir suma.
$$1^{p}+w^{p}+w^{2p}+\ldots +w^{p\left( n-1\right) } = \dfrac {1} {2}+\dfrac {\sin\left( 2p\pi -\dfrac {p\pi } {n}\right) +i\cos \dfrac {p\pi } {n} -i\cos \left( 2p\pi -\dfrac {p\pi } {n}\right) } {2\sin \dfrac {p\pi } {n}}$$ Por lo tanto nos queda esperar, pero ¿qué acerca de las múltiples n ? A donde voy mal aquí. También cualquier ayuda con la segunda parte de la pregunta sería muy apreciada.
