Norma y cuadrado del ideal $(2,1+\sqrt{-5})$ en el anillo de enteros

Question

Dejemos que $I=(2,1+\sqrt{-5})$ sea un ideal del anillo de enteros de $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ . Cuál es su norma $N(I)$ ? Y es $I^2$ ¿Director?

Mis notas dicen:

$1$ , $\sqrt{-5}$ es un $\mathbb Z$ -base para $\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ y especialmente $1$ , $1+\sqrt{-5}$ por lo que N $(I)=2$ . También, $I^2=(4,2(1+\sqrt{-5}),2(-2+\sqrt{-5}))\subseteq(2)$ y $N(I^2)=N(I)^2=4=N((2))$ . Así que $I^2=(2)$ es principal.

Bueno, ahora estoy tratando de averiguar por qué el ideal $I$ tiene norma $2$ . Sabemos que $N(2)=4$ y $N(1+\sqrt{-5})=6$ . Así que $N(I)$ divide $4$ y $6$ es decir, es $1$ o $2$ . No puede ser $1$ porque $I$ es un ideal propio. Por lo tanto, es $2$ . Pero, ¿cómo se relaciona esto con el $\mathbb Z$ -base de $\mathcal O_K$ ?

Y realmente no tengo ni idea de cómo puedo calcular $I^2$ . Entiendo el argumento de la norma, pero no sé cómo calcular $I^2$ .

Answer 1

Con respecto a su primera pregunta....

Al elegir un $\mathbb{Z}$ -base $\{ 1, 1 + \sqrt{-5} \}$ para $\mathcal{O}_K$ podemos escribir los enteros algebraicos como "vectores" de coordenadas.

Los generadores del ideal $I$ son, en relación con esta base, $(2,0)$ y $(0, 1)$ . Esto resulta ser un $\mathbb{Z}$ -base para $I$ aunque es posible que desee volver a comprobarlo arrojando los cuatro elementos de $\{ 2, 1 + \sqrt{-5} \} \cdot \{ 1, \sqrt{-5} \}$ en una matriz y haciendo una reducción de filas (enteras) para simplificar. (El uso de estos cuatro elementos garantiza que su ámbito es cerrado bajo la multiplicación por elementos de $\mathcal{O}_K$ ).

Una definición de la norma de un ideal es que es el tamaño del anillo cociente $\mathcal{O}_K / I$ . Sabiendo que la base de $I$ (en relación con la base de $\mathcal{O}_K$ ) tiene una matriz de coordenadas

$$ \left( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$$

hace que sea fácil ver que el grupo cociente tiene dos elementos.

En realidad, cuando hacemos las cosas de esta manera, podemos obtener la norma de $I$ como el determinante de su matriz base.

Answer 2

Como ya se ha dicho en los comentarios de yoyo, $N(I)=[\mathcal{O}_K:I]=2$ . Una forma de pensar en esto es que si se multiplica cualquier elemento de $\mathcal{O}_K$ por $2$ entonces siempre aterrizará en $I$ y se puede ver esto mirando el $\mathbb{Z}$ -y los generadores de $i$ .

Para calcular $I^2$ simplemente se multiplican los generadores juntos. Así que aquí:

• $2\cdot 2=4$
• $2\cdot(1+\sqrt{-5})=2+2\sqrt{-5}$
• $(1+\sqrt{-5})\cdot 2=2+2\sqrt{-5}$ de nuevo, por lo que sólo tenemos que incluirlo en nuestra lista de generadores una vez
• $(1+\sqrt{-5})\cdot(1+\sqrt{-5})=-4+2\sqrt{-5}$

Esto nos da todos los generadores del ideal, y

$$ I^2=(2,1+\sqrt{-5})(2,1+\sqrt{-5})=(4,2+2\sqrt{-5},-4+2\sqrt{-5}) $$

Answer 3

Sobre el segundo punto:
De hecho, el número de clase de $Q(\sqrt{-5})$ es $2$ para que $I^2$ es principal, cualquiera que sea el ideal $I$ es. Además, por la teoría de Kummer, o Dedekind(?), sabemos que los primos $p$ se divide en $Q(\theta)$ en función de cómo $f(x)$ factores modulares $p$ , donde $f$ es el polinomio mínimo de $\theta$ en $Q$ . Ahora, el polinomio mínimo de $\sqrt{-5}$ es $x^2+5\equiv (x+1)^2\pmod2$ Así que $(2,\sqrt{-5})^2=(2)$ por la teoría mencionada.
Por favor, dígame si se producen algunos errores. Gracias.