Hay una superficie que es orientable que es topológicamente homeomórficos a un nonorientable uno, o es orientability un invariante topológico.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ralph Bolton
Puntos
81
La respuesta es no: orientability es un invariante topológico.
Sin embargo, su pregunta me hizo darme cuenta de que yo nunca había pensado acerca de orientability para topológico colectores! Para diferenciable colectores, es claro que orientability es diffeomorphism-invariante, ya que podemos definir en términos de los determinantes de la diferencial de una función de transición.
Para general topológico colectores, primero tenemos que definir lo que entendemos por orientación. Supongamos que tenemos un mapa continuo $\phi : U \to V$ donde $U$ $V$ ruta de acceso conectado a abrir los subconjuntos del espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$. Elige algún punto de $x \in U$. A continuación, $x$ tiene algunos de los más pequeños de la vecindad $U' \subset U$ tal de que el límite de $U'$ es homeomórficos a la $(n-1)$-esfera: $~\partial U' \cong S^{n-1}$.
$\phi$ es un homeomorphism, por lo que también tiene $\phi(\partial U') \cong S^{n-1}$. Debido a $\phi$ es invertible, se induce una invertible mapa en la homología de grupos de $\tilde\phi: H_{n-1}(\partial U') \to H_{n-1}\big(\phi(\partial U')\big)$. Podemos canónicamente identificar el dominio y codominio de este mapa con $H_{n-1}(S^{n-1}) \cong\mathbb{Z}$. Así, desde la $\phi$ es invertible, debe actuar como $\pm 1$. Si es $+1$, podemos decir que el $\phi$ es de la orientación de la preservación.
La última cosa a comprobar es que la definición anterior es independiente del punto de $x$ que elegimos. Dado algún otro punto de $x' \in U$ elige el camino de $\gamma : [0,1] \to U$ tal que $\gamma(0) = x$, $\gamma(1) = x'$. Luego, con el hecho de que $U$ es abierto y $\text{im}(\gamma)$ es compacto, podemos argumentar que si empezamos con $x'$, acabaríamos con un mapa de $S^{n-1} \to S^{n-1}$ homotópica a la que tenemos comenzando con $x$. Por lo tanto, inducen la misma acción en la homología.
Una variedad es orientable si podemos encontrar un atlas de tal manera que todos los mapas de transición son orientables. Dada la definición, esto es claramente invariantes bajo homeomorphism.
