¿Por qué es $ \sum ^ \infty_ {n=0} \sum ^n_{k=0} \frac {b^k}{k!} \cdot\frac {a^{n-k}}{(n-k)!}= \sum ^ \infty_ {n=0} \frac {(a+b)^n}{n!}$ ?

Question

El tutor de mi clase de algoritmos usó la siguiente ecuación hoy:

$ \sum\limits ^ \infty_ {n=0} \sum\limits ^n_{k=0} \frac {b^k} {k!} \cdot \frac {a^{n-k}} {(n-k)!}$ = $ \sum\limits ^ \infty_ {n=0} \frac {{(a+b)}^n} {n!}$

Cuando le pregunté por qué se nos permite usar esto, me dijo que normalmente lo demuestras en una de tus primeras clases de matemáticas. Sin embargo, sigo siendo demasiado estúpido para ver por qué esto debería ser cierto. Una pista sería muy agradable.

No sé si eso es engañoso, pero después de tener algunos pensamientos sobre la ecuación me di cuenta de que la parte $ \sum\limits ^n_{k=0} \frac {b^k} {k!} \cdot \frac {a^{n-k}} {(n-k)!}$ es un producto de Cauchy. Después de descubrirlo, escribí los primeros términos de la suma en un papel y siempre vi que se parecen bastante al teorema del binomio. Pero no puedo encontrar una manera de hacerlo para una cantidad infinita de términos. Sólo para los términos dados que escribí.

Answer 1

El teorema del binomio establece que $$ \sum_ {k=0}^n{n \choose k}b^k a^{n-k}=(a+b)^n,$$ así que $$ \sum\limits ^ \infty_ {n=0} \sum\limits ^n_{k=0} \frac {b^k} {k!} \cdot \frac {a^{n-k}} {(n-k)!}= \sum\limits ^ \infty_ {n=0} \frac {1}{n!} \left ( \sum\limits ^n_{k=0} \frac {n!}{k!(n-k)!}{b^k}a^{n-k} \right ) \\\quad\quad\quad\quad = \sum\limits ^ \infty_ {n=0} \frac {1}{n!} \sum\limits ^n_{k=0} {n \choose k}b^ka^{n-k} \\\quad = \sum\limits ^ \infty_ {n=0} \frac {{(a+b)}^n} {n!}.$$

Answer 2

Si tiene en cuenta que

$$e^x= \sum_ {n=0}^ \infty {x^n \over n!}$$

la identidad que estamos contemplando es sólo la forma de serie de

$$e^{a+b}=e^a \cdot e^b$$

Ahora, con el teorema del binomio teniendo en cuenta ${n \choose k}=n!/k!(n-k)!$

$$(a+b)^n= \sum_ {k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}$$

Podemos probarlo directamente