Si los coeficientes de la ecuación cuadrática $ax^2+bx +c$ son u.i.i.d funcionó variantes aleatorias en $(0,1)$ ¿cuál es la probabilidad de las raíces es real?

Question

Si los coeficientes a, b, c (tomada en orden, c es el término constante) de una ecuación cuadrática son al azar y independenly en la interval(0,1) abierta ¿cuál es la probabilidad de que tanto las raíces son reales?

Answer 1

Por cada positivo $x$, $P[c\lt x]=\min(x,1)$. Aplicando esto a $x=b^2/(4a)$, se pone en $$P[b^2\gt4ac]=P[4a\lt b^2]+E[b^2/(4a);4a\gt b^2].$$ Para cada $x$$(0,1)$, $$P [\lt x]+E[x/a;un\gt x]=x+\int_x^1\frac{x}z\mathrm dz=x(1-\log x).$$ Aplicando esto a $x=b^2/4$, que es casi seguramente en $(0,1)$, se obtiene $$P[b^2\gt4ac]=E\left[\frac{b^2}4\left(1-\log\left(\frac{b^2}4\right)\right)\right]=\left.(1+\log4)\frac{x^3}{12}-\frac{x^3}6\log x+\frac{x^3}{18}\right|_{x=0}^{x=1}.$$ Por lo tanto, la probabilidad de $p$ que las dos raíces son reales es $$p=P[b^2\gt4ac]=\frac1{12}(1+\log4)+\frac1{18}=\frac5{36}+\frac16\log 2\approx25.44\%.$$

Answer 2

$a,b,c$ se limita al intervalo de $(0,1)$, por lo que $$P(b^2 < 4ac) = \int_{a=0}^1\int_{c=0}^1\int_{b=0}^{\min(2\sqrt{ac},1)}da\db\,dc = \int_{a=0}^1\int_{c=0}^1 \min(2\sqrt{ac},1)\,da\,dc,$$ así que $$P(b^2 < 4ac) = \int_{a=0}^1\int_{c=0}^{\min(1/(4a),1)}2\sqrt{ac}\,da\,dc + \int_{a=0}^1\int_{c=\min(1/(4a),1)}^1\,da\,dc.$$ La primera integral es $$\begin{multline} \int_{a=0}^1 2\sqrt{a}\,da\int_{c=0}^{\min(1/(4a),1)}\sqrt{c}\,dc = \frac{4}{3}\int_{a=0}^1 \sqrt{a}\min\left(\frac{1}{8a^{3/2}},1\right)\,da\\ = \frac{4}{3}\int_{a=0}^{1/4}\sqrt{a}\,da + \frac{1}{6}\int_{a=1/4}^1\frac{1}{a}\,da = \frac{1}{9} - \frac{1}{6}\ln(1/4)\tag{1}. \end{multline}$$ La segunda integral es $$\int_{a=0}^1 \left[1- \min\left(\frac{1}{4},1\right)\right]\,da = \int_{a=1/4}^1\left(1 - \frac{1}{4}\right)\,da = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\ln(1/4).\la etiqueta{2}$$ La combinación de $(1)$$(2)$, obtenemos $$P(b^2 < 4ac) = \frac{31}{36} + \frac{1}{12}\ln(1/4),$$ y $$P(b^2 > 4ac) = \frac{5}{36} - \frac{1}{12}\ln(1/4) = \frac{5}{36}+\frac{1}{6}\ln 2.$$