Si los coeficientes a, b, c (tomada en orden, c es el término constante) de una ecuación cuadrática son al azar y independenly en la interval(0,1) abierta ¿cuál es la probabilidad de que tanto las raíces son reales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Por cada positivo x, P[c<x]=min. Aplicando esto a x=b^2/(4a), se pone en P[b^2\gt4ac]=P[4a\lt b^2]+E[b^2/(4a);4a\gt b^2]. Para cada x(0,1), P [\lt x]+E[x/a;un\gt x]=x+\int_x^1\frac{x}z\mathrm dz=x(1-\log x). Aplicando esto a x=b^2/4, que es casi seguramente en (0,1), se obtiene P[b^2\gt4ac]=E\left[\frac{b^2}4\left(1-\log\left(\frac{b^2}4\right)\right)\right]=\left.(1+\log4)\frac{x^3}{12}-\frac{x^3}6\log x+\frac{x^3}{18}\right|_{x=0}^{x=1}. Por lo tanto, la probabilidad de p que las dos raíces son reales es p=P[b^2\gt4ac]=\frac1{12}(1+\log4)+\frac1{18}=\frac5{36}+\frac16\log 2\approx25.44\%.
a,b,c se limita al intervalo de (0,1), por lo que P(b^2 < 4ac) = \int_{a=0}^1\int_{c=0}^1\int_{b=0}^{\min(2\sqrt{ac},1)}da\db\,dc = \int_{a=0}^1\int_{c=0}^1 \min(2\sqrt{ac},1)\,da\,dc, así que P(b^2 < 4ac) = \int_{a=0}^1\int_{c=0}^{\min(1/(4a),1)}2\sqrt{ac}\,da\,dc + \int_{a=0}^1\int_{c=\min(1/(4a),1)}^1\,da\,dc. La primera integral es \begin{multline} \int_{a=0}^1 2\sqrt{a}\,da\int_{c=0}^{\min(1/(4a),1)}\sqrt{c}\,dc = \frac{4}{3}\int_{a=0}^1 \sqrt{a}\min\left(\frac{1}{8a^{3/2}},1\right)\,da\\ = \frac{4}{3}\int_{a=0}^{1/4}\sqrt{a}\,da + \frac{1}{6}\int_{a=1/4}^1\frac{1}{a}\,da = \frac{1}{9} - \frac{1}{6}\ln(1/4)\tag{1}. \end{multline} La segunda integral es \int_{a=0}^1 \left[1- \min\left(\frac{1}{4},1\right)\right]\,da = \int_{a=1/4}^1\left(1 - \frac{1}{4}\right)\,da = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\ln(1/4).\la etiqueta{2} La combinación de (1)(2), obtenemos P(b^2 < 4ac) = \frac{31}{36} + \frac{1}{12}\ln(1/4), y P(b^2 > 4ac) = \frac{5}{36} - \frac{1}{12}\ln(1/4) = \frac{5}{36}+\frac{1}{6}\ln 2.