¿Existe una regla para $\sqrt{a+b}$?

Question

Aprendes en álgebra que $$\sqrt{ab}=\sqrt{a} \sqrt{b}$ $ y $ de #% de #% % también aprendes a no cometer el error fatal de pensar $$\sqrt{\frac ab}=\frac {\sqrt a}{\sqrt b}$ $

Sin embargo, me pregunto si hay una regla para $$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Creo que sería bastante complejo, si es que existe en todos.

$\sqrt{a+b}$$

Answer 1

No hay finito regla, pero no es el binomio de la serie: $$ (1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \elegir k} \; x^k $$ donde $$ {\alpha \elegir k} = \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} $$ Esta serie converge para $|x|<1$. Tomando $\alpha=1/2$, obtenemos $$ (1+x)^{1/2} = 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5 x^4}{128}+\frac{7 x^5}{256}+\cdots $$

Podemos aplicar esto a $\sqrt{a+b}$ como sigue. Asumir wlog que $a>b$. Entonces $$ \sqrt{a+b}=(a+b)^{1/2} = \sqrt{a}(1+x)^{1/2} $$ con $x=b/a<1$. Entonces tenemos $$ \sqrt{a+b} = \sqrt{a}\left(1+\frac{b}{2a}-\frac{b^2}{8a^2}+\frac{b^3}{16a^3}-\frac{5 b^4}{128a^4}+\frac{7 b^5}{256 bis^5}+\cdots\right) $$

Answer 2

Siempre que el $a>0$ y $a+b>0$, tenemos $$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{1+\frac{b}{a}}$ $

Answer 3

La respuesta general es no. Sin embargo, puede encontrar algunas ocasiones especiales como: %#% $ de #% en que $$\sqrt{3+2\sqrt 2}=1+\sqrt 2$ pasa a ser $\sqrt{3+2\sqrt 2}$.