Internalización de la acción de functor en morfismos (por ejemplo, a objetos exponenciales)

Question

Parte de lo que significa ser un functor entre las dos categorías es tener un mapa de morfismos por ejemplo, $F$ envía $f: A \to B$$Ff: FA \to FB$.

Supongamos $F$ es un functor de una categoría a sí mismo, y que la categoría tiene (algunos o todos) exponencial de los objetos. $B^A$ intuitivamente se corresponde con un objeto de morfismos $A \to B$, por lo que me espero ser capaz de aplicar los morfismos de asignación de la functor $F$ conseguir $FB^{FA}$. Puedo hacer esto en $\mathbf{Set}$ en una manera obvia, pero no puedo ver cómo enmarcar la idea de la categoría-en teoría, para que yo pueda generalizar. Así que mis preguntas son:

• Bajo qué condiciones puedo "internalizar" los morfismos mapa de $F$ para obtener un morfismos $B^A \to FB^{FA}$?
• Si eso no funciona, lo que si puedo reemplazar $B^A$ con el hom-functor de una categoría enriquecido sobre la misma, o algún otro interno de la noción de función?

Answer 1

Algunos pensamientos: Si $F$ conserva productos podemos aplicar a la evaluación mapa $e:B^{A}\times A\rightarrow B$ para obtener un mapa $F(e):F(B^{A})\times F(A)\rightarrow F(B)$, que, si el $F(A)$ también es exponentiable, nos da un mapa $\bar{F(e)}:F(B^{A})\rightarrow F(B)^{F(A)}$ por transposición. En general, no puedo pensar en una razón que debe ser cualquier morfismo útil $B^{A}\rightarrow F(B^{A})$.

Answer 2

Esta dificultad es exactamente la razón por la que enriquece la categoría de teoría no es vacuo. No es el resultado de Kock en la que se exponen las condiciones necesarias y suficientes para que un functor tener un enriquecimiento sin mencionar nunca interno de homs! Aquí está.

Definición. Deje $\mathcal{C}$ ser un monoidal cerrado categoría (como un cartesiana cerrada categoría). Una fuerza para un endofunctor $T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ es una transformación natural $\sigma_{X, Y} : X \otimes T Y \to T (X \otimes Y)$ la satisfacción de estos axiomas: $\newcommand{\id}{\textrm{id}}$

• $T \lambda_X \circ \sigma_{I, X} = \lambda_{T X}$ donde $I$ es el monoidal unidad e $\lambda_X : I \otimes X \to X$ es el unitor.

• $\sigma_{X, Y \otimes Z} \circ (\id_X \otimes \sigma_{Y,Z}) \circ \alpha_{X,Y,T Z} = T \alpha_{X,Y,Z} \circ \sigma_{X \otimes Y, Z}$ donde $\alpha_{X,Y,Z} : (X \otimes Y) \otimes Z \to X \otimes (Y \otimes Z)$ es el asociador.

Teorema. Hay un bijection entre las naturales transformaciones de tipo $$\sigma_{X,Y} : X \otimes T Y \to T (X \otimes Y)$$ naturales y las transformaciones de tipo $$t_{X,Y} : \mathcal{H}om (X, Y) \to \mathcal{H}om (T X, T Y)$$ tal que $\sigma_{X,Y}$ es una fortaleza para la $T$ si y sólo si $t$ es un enriquecimiento para $T$.

Prueba. Brevemente me indican donde la bijection proviene; los detalles pueden ser encontrados en el Teorema de 3.2.17 de mis notas. Supongamos $\sigma$ es dado. Para la construcción de $t$, es suficiente para la construcción de morfismos $\mathcal{H}om (X, Y) \otimes T X \to T Y$ la satisfacción de una adecuada extranaturality condición. Pero es bastante obvio que podemos utilizar, es decir,$T (\textrm{ev}_{X, Y}) \circ \sigma_{\mathcal{H}om (X, Y), X}$. Por el contrario, dado $t$, construimos $\sigma$ como el tensor–hom transpuesta de a $t_{Y, X \otimes Y} \circ D_{X, Y}$ donde$D_{X, Y} : X \to \mathcal{H}om (Y, X \otimes Y)$, es la unidad del tensor–hom contigüidad.

En última instancia, sin embargo, la idea viene de la observación siguiente: ordinaria functors entre cocomplete categorías tienen una canónica mapa comparativo entre copowers (por la característica universal de la misma), y lo mismo es cierto para enriquecido functors entre cocomplete enriquecido categorías, donde "copower" se sustituye por "producto tensor". Este extra estructura nos dice cómo manejar las "no-discretas" a las familias de los morfismos en enriquecida categorías.