¿Por qué el foco que se refleja en un espejo rectangular tiende a ser circular?

Question

Antecedentes y configuración

Cuando tenía 12 años me gustaba una chica, éramos casi vecinos y era esencial que nuestros padres no se enteraran. Así que cada vez que uno de nosotros quería llamar al otro le hacía una señal con un espejo para que se preparara cerca del teléfono y contestara antes que nadie en la casa.

Este es el montaje:

• Yo vivía en A, ella en B.
• He utilizado un espejo de forma rectangular.

La observación

• Caso A:

Cuando reflejé la luz en una superficie cercana, como la pequeña pared frente a mí en el edificio A, vi un punto de luz que tenía este aspecto:

Que era exactamente lo que esperaba.

• Caso B:

Cuando reflejé la luz hacia otro objetivo, el edificio B, el foco también era rectangular pero con esquinas mucho más suaves:

• Caso C:

Ahora es cuando he pensado que es interesante. Cuando reflejé la luz hacia un objetivo aún más lejano, el edificio C, el foco parecía casi un círculo:

Pregunta

¿Por qué? ¿No debería seguir siendo un rectángulo? y aunque tuviera que cambiar, ¿por qué un círculo?

Answer 1

En situaciones similares, se podrían observar las propiedades ondulatorias de la luz, pero no es el caso. El espejo podría ser imperfecto, salvo que suele ser muy cercano a lo plano, por lo que esta tampoco es la razón. Su observación tiene otra razón simple: el Sol no es un punto. Es redondo.

Por eso los rayos de luz que salen del Sol no son exactamente paralelos entre sí (me refiero a otros rayos del Sol). De hecho, los fotones del Sol provienen de diferentes ángulos y el ángulo máximo entre dos fotones que llegan del Sol no es otra cosa que el tamaño aparente del Sol

http://www.wolframalpha.com/input/?i=apparent+tamaño+del+sol

que es aproximadamente 0,54 grados o 0,0094 radianes. Es el diámetro angular. Tenga en cuenta que se puede calcular como el diámetro absoluto del Sol dividido por la distancia Sol-Tierra.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=diameter+del+Sol+%2F+distancia+entre+la+Tierra+y+el+Sol

Ahora, imagina que tienes un espejo infinitamente pequeño. Los fotones del Sol se reflejan en direcciones ligeramente diferentes porque vienen de direcciones ligeramente diferentes. De hecho, las direcciones desde las que llegan los fotones forman un pequeño disco en $S^2$ Por lo tanto, lo mismo debe ocurrir con los fotones reflejados: el rayo no es una línea nítida, sino un cono que diverge del espejo.

Si multiplicas el ángulo de 0,0094 por, por ejemplo, 20 metros -distancia entre tu pareja y el espejo-, obtienes 19 centímetros. Así que ya un espejo diminuto producirá un disco iluminado de 19 centímetros de diámetro (casi el 1% de la distancia entre el espejo y la "pantalla"). El punto iluminado en forma de disco que se ve en el caso C -más precisamente, en los casos en que la distancia espejo-pantalla es mucho más de 100 veces el radio del espejo- no es otra cosa que la forma del propio Sol.

Si su espejo es un cuadrado de 30 cm por 30 cm, el área iluminada será un " convolución " (algún tipo de combinación o compromiso, si no sabes lo que es una convolución) del mismo cuadrado y un disco de diámetro 1% de la distancia de la pantalla del espejo. Así, si la distancia es de 20 metros, el radio de curvatura de las esquinas lisas será de unos 9,5 centímetros. Cada una de las cuatro esquinas será sustituida por un disco de radio 9,5 centímetros y el área total iluminada será la envoltura convexa de estos cuatro círculos, por lo que será un cuadrado de lado 30+9,5+9,5=49 centímetros con esquinas redondas cuyo radio de curvatura es de 9,5 centímetros. Los lugares más cercanos al centro de este "reflejo borroso de su espejo" se iluminarán con más fuerza; la intensidad de la luz disminuirá hacia los límites del cuadrado redondeado de 49 centímetros.