Muestran que el segmento abierto $(a,b)$, segmento cerrar $[a,b]$ tienen la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$

Question

a) Mostrar que cualquier segmento de $(a,b)$ $a<b$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$.

b) Demostrar que cualquier segmento cerrado $[a,b]$ $a<b$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$.

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Pensamientos:

Desde $a<b$, $a,b$ son dos distintos número real en $\mathbb{R}$, necesitamos demostrar que es de 1 a 1 bijection funciones que se asignan entre los $(a,b)$ y $\mathbb{R}$, $[a,b]$ y $\mathbb{R}$.

Pero sabemos $\mathbb{R}$ es incontable, por lo que nos muestran el mismo para$(a,b)$$[a,b]$?

y ¿cómo puedo hacer uso de el Cantor-Schröder-Bernstein Teorema? El uno con $|A|\le|B|$$|B|\le|A|$,$|A|=|B|$?

gracias!!

Answer 1

Vamos a hacer un enfoque fundamentalmente diferente. Considere la posibilidad de que se proyecta desde el fondo abierto de la mitad de la circunferencia $x^2 + (y-1)^2 = 1$, como he redactado a continuación.

En este, por medio de la proyección de $(0,1)$, obtenemos un 1-1 correspondencia del ángulo de la $(0, -\pi) \to \mathbb{R}$. Existe una clara correspondencia 1-1 de$(0,1)$$(0, -\pi)$.

Así tenemos a nuestro bijection de$(0,1)$$\mathbb{R}$. Para $[0,1]$, podríamos utilizar grandes teoremas, o que sólo podría modificar esta. Así que vamos a "hacer espacio" diciendo que todo lo que fue asociado a $0$ es ahora asociado a $2$, lo que se asoció a $1$ es ahora asociado a $3$, $2$ ahora va a $4$, y así sucesivamente, de manera efectiva la liberación de los números reales $0,1$ por el desplazamiento de los números naturales. Enviar$0$$0$, e $1$$1$, y ahora tenemos un bijection $[0,1] \to \mathbb{R}$.

Agradable, directo y constructivo.

Answer 2

Indirecta: $(a,b)\subseteq[a,b]\subseteq\Bbb R$ por lo que sólo necesitará mostrar una inyección de $\Bbb R$ $(a,b)$. Entonces el teorema de Cantor-Bernstein puede trabajar su magia.

Muestran que cada dos intervalos abiertos tienen la misma cardinalidad (objeto expuesto un bijection entre ellos), y así es suficiente para mostrar que hay una inyección en $(0,1)$. Considerar algo a lo largo de las líneas de: $$x\mapsto\frac1{2+e^x}$ $

Answer 3

Como se mencionó en la respuesta de Ittay Weiss, sólo tenemos que encontrar una biyección $\beta: [-1, 1] \to (-1, 1)$. Pruebe este enfoque: que necesitamos para "rechazar" el criterio de evaluación $-1$ en el intervalo abierto $(-1, 1)$. Digamos que termina en un $a_1 \in (-1, 1)$. Entonces ahora $a_1$ consiguió exprimir hacia fuera así que vamos a mover a un $a_2 \in (-1, 1)$. Algunos $a_3 \in (-1, 1)$ entonces las necesidades para dar paso a $\beta(a_2)$. Continuando de esta manera de desplazar y reemplazar, podemos "empujamos" los extremos de $[-1, 1]$ en $(-1, 1)$ sin tocar la mayoría de los puntos.

Answer 4

Considerar la función $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ definidas como,

$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$$

Demostrar que $f$ es una función biyectiva.

Ahora, por posts anteriores, $(0,1)$ y $[0,1]$ tienen la misma cardinalidad.

Considerar la función $g:[0,1]\to[a,b]$, definido como,

$$g(x)=({b-a})x+a$$

Demostrar que $g$ es función biyectiva a la conclusión de que $[0,1]$ y $[a,b]$ tienen la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$.

Answer 5

Esto puede hacerse mediante una aplicación directa del teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein. Todo lo que tienes que hacer es encontrar una función inyectiva $f:(a,b)\to \mathbb [a,b]$ y, a continuación, una función inyectiva $g:[a,b]\to (a,b)$. Ahora, hay un candidato escandalosamente obvio para una función inyectiva $f:(a,b)\to [a,b]$. ¿En cuanto a la otra dirección, puedes pensar en una función que se reducirá el intervalo de $[a,b]$ un poco para que quede en $(a,b)$? Piense en el caso $[-1,1]$ y $(-1,1)$ para la intuición si es necesario.