Prueba que $x + y$ es divisible por $11$. ¿Es correcta mi solución?

Question

Si $ x $ y $ y $ son números naturales, y $ 56x = 65y $, prueba que $ x + y $ es divisible por $ 11 $.

Solución)

$ 56 $ y $ 65 $ son primos relativos

Así, $65x$ y $56y$

Sea $ x = 65m $ y $ y = 56n $

Entonces, $56x = 65y$

$56.65m = 65.56n$

$m = n$

Así, las soluciones son de la forma $ x = 65k $, $ y = 56k $ para enteros $ k $, y

$ x + y = (65 + 56) k = 121k = 11 (11k) $.

Por lo tanto, $ x + y $ es divisble por $ 11 $

Answer 1

Aquí hay una prueba alternativa:

$56x=65y$ implica $x\equiv -y \mod 11$ y el resultado ahora es claro.

Answer 2

Correcto. De hecho, has demostrado más, que $121|(x+y)$

Answer 3

Su solución es correcta. Otra forma de probar es la siguiente; Tenemos $$56 \equiv1\pmod{11}$$ Por lo tanto, \begin{align} (x+y) & \equiv 56(x+y)\pmod{11}(x+y) \equiv 56x+56y\pmod{11}\\ & \equiv 65y+56y\pmod{11} \equiv 121y \pmod{11} \equiv 0 \pmod{11} \end{align}