Evaluar

Question

Calcular el valor de la integral $$ \int_0^2 \sqrt[3]{x^2 + 2x - 1} \,dx $$ con la incertidumbre de la medición no supere $10^{-3}$.

Sé que podemos evaluar la integración usando la "regla trapezoidal" o "la regla de Simpson". Pero si queremos calcular la incertidumbre, el uso de la primera regla, tenemos que calcular el $\max_{x \in [0, 2]} |f''(x)|$, que no existe ($|f''(x)| = {2 \over 9}|{x^2 + 2x + 7 \over (x^2 + 2x - 1)^{5/3}}| $, que tiene límite de $+\infty$ al $x \rightarrow \sqrt{2} - 1$). El uso de la segunda regla, necesitamos calcular el $\max_{x \in [0, 2]} |f''''(x)|$, que no existe. Así que, ¿cómo podemos evaluar esta integral? Alguien puede darme una sugerencia? Gracias.

Answer 1

Un punto importante a tener en cuenta es que la función de $x^2+2x-1$ es negativo en una parte de la gama de integración. Con el fin de evitar los problemas con la raíz cuadrada de números negativos en el cálculo numérico, se aconseja dividir la integral en dos partes y calcular por separado : $$ \int_{\sqrt 2-1}^2 \sqrt[3]{x^2 + 2x - 1} \,dx $$ y $$ \int_0^{\sqrt 2-1} \sqrt[3]{-(x^2 + 2x - 1)} \,dx $$ Ya que supongo que el objetivo es encontrar el valor numérico para la integración en el camino real, usted debe obtener aproximadamente $1.83052$

¿Estás seguro de que no hay ningún error en la redacción del problema ? Porque es sorprendente que un problema de la escuela de este tipo implica una compleja gama de integración. Si no hay ningún error tipográfico, uno podría comparar el resultado calculado para una analítica de cálculo. Pero sería ardua debido a que involucran funciones especiales de nivel superior.