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Número elevado a la potencia de un número irracional

¿Cuál es la consecuencia de elevar un número a la potencia de un número irracional?

Ejemplo: $2^\pi , 5^\sqrt2$

  1. ¿Tiene sentido matemáticamente? (¿Existen problemas en el mundo de la física donde nos encontramos con dicho cálculo?)
  2. ¿Cómo se calcula o se estima su valor? (Quiero saber si hay una fórmula de suma infinita, en lugar de simplemente redondear $\pi$ a 3.14)

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Básicamente puedes permitir que la secuencia de números racionales converja a ese número irracional, y la potencia con números racionales tiene mucho sentido.

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Para $a > 0$ aprietas tu número irracional $b$ con racionales, entonces si $\frac {m_1}{n_1} < b < \frac {m_2}{n_2}$, entonces $$ a^{\frac {m_1}{n_1}} < a^b < a^{\frac {m_2}{n_2}} $$

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Gracias a @Kaster por señalar esta propiedad

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IBr Puntos 171

Formalmente, tenemos $a^b = e^{b \ln(a)}$ y

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

$$\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$$

Y para entero $n$, definimos $x^n$ como

$$\prod^n_{i=1} x$$

Esto es necesario porque no queremos definir las potencias en $e^x$ de forma circular.

También se debe tener en cuenta que al utilizar $\ln a$ en esta definición, es necesario que $a>0$.


También se puede simplemente aproximar el exponente con un número racional.

Una buena aproximación para $\pi$ es $\frac{355}{113}$.

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Gracias. Extrañamente, 'e' también es irracional.

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¿Existe algún beneficio al definirlo a través de una serie de Taylor cuando se puede simplemente definir como un límite de aproximaciones racionales...?

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@Mehrdad Ten en cuenta que incluso $x^y$ para $x, y$ racionales generalmente no da un número racional, por lo que si eso es lo que quieres decir, no es un límite de aproximaciones racionales. Sin embargo, la serie de potencias para $e^x$ ciertamente lo es.

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Tim Puntos 220

Si el número es positivo, entonces elevarlo a la potencia de un número irracional está bien definido. Esto se debe a que un número irracional se puede definir como una secuencia convergente de números racionales (como 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, etc), y a medida que estos se acercan al número irracional, la potencia de estos números racionales también converge a un valor fijo, que es la potencia del número irracional.

Si el número es negativo, entonces la potencia no está definida. Esto se debe a que mientras que el número irracional se puede definir como una secuencia convergente de números racionales, la potencia de estos números no converge.

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En última instancia, se definen en el ámbito complejo. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes no lo ven ni necesitan entenderlo hasta los cursos de matemáticas universitarias de nivel superior. Con frecuencia, los cursos completos en números complejos son optativos para los estudiantes de matemáticas. Ver wolframalpha.com/input/?i=%28-3%29%5Epi

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Bonito ejemplo, gracias. @Peter ¡Genial! eso lo dejó muy claro.

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k1.M Puntos 3567

Observa que $$ a^r=e^{r\ln a} $$ y utiliza la serie de Taylor para $e^x$.

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Adelafif Puntos 921

Sea $$x=a.a_1a_2a_3... y=b.b_1b_2d_3...>0$$. Puedes aproximar x^y como un límite de la secuencia $$a^b,a.a_1^{(b.b_1)},a,a_1a_2^{(b.b_1b_2)},....$$ En cuanto a la aplicación en física, supongamos que estás trabajando en un experimento que está gobernado por la ecuación diferencial $$yy'-(y')^2=(y^2)/x$$. Una de las soluciones es $$x^x$$ y si $$x=2^.5$$ entonces obtienes evaluar una expresión del tipo que has mencionado.

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