¿Cuál es la consecuencia de elevar un número a la potencia de un número irracional?
Ejemplo: $2^\pi , 5^\sqrt2$
- ¿Tiene sentido matemáticamente? (¿Existen problemas en el mundo de la física donde nos encontramos con dicho cálculo?)
- ¿Cómo se calcula o se estima su valor? (Quiero saber si hay una fórmula de suma infinita, en lugar de simplemente redondear $\pi$ a 3.14)
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Básicamente puedes permitir que la secuencia de números racionales converja a ese número irracional, y la potencia con números racionales tiene mucho sentido.
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Para $a > 0$ aprietas tu número irracional $b$ con racionales, entonces si $\frac {m_1}{n_1} < b < \frac {m_2}{n_2}$, entonces $$ a^{\frac {m_1}{n_1}} < a^b < a^{\frac {m_2}{n_2}} $$
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Gracias a @Kaster por señalar esta propiedad
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$\{\pi\}=(3,4)\cap(3.1,3.2)\cap(3.14,3.15)\cap(3.141,3.142) \dotsb$, por lo que podemos definir $\{2^\pi\}=(2^3,2^4)\cap(2^{3.1},2^{3.2}) \cap\dotsb$.