Evaluación de un límite mediante la regla de L'Hôpital

Question

Sé que también se puede evaluar utilizando la expansión de Taylor, pero intencionalmente quiero resolverlo utilizando la regla de L'Hôpital:

$$ \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}^{\frac{1}{1-\cos x}} = \lim\limits_{x\to 0}\exp\left( \frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{1-\cos x} \right)$$

Ahora, desde la continuidad y la regla de L'hopital: $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{1-\cos x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}}{\sin x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{x\cos x - \sin x}{x\sin x}}{\sin x}$$

Aquí es donde me quedé atascado.
Si no me equivoco el límite es $-\frac{1}{3}$ así que el original es $e^{-\frac{1}{3}}$

¿Qué debería hacer diferente (o qué es lo que falla en mi cálculo?)
Gracias

Answer 1

Tras reordenar un poco el cociente podemos aplicar las reglas de L'hopitals $2$ más veces para obtener la respuesta:

$$\lim_{x\to0}\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x\sin^{2}(x)}\underbrace{=}_{\text{l'hopital}}\lim_{x\to0}\frac{-x\sin(x)}{\sin^{2}(x)+2x\sin(x)\cos(x)}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{\sin(x)+2x\cos(x)}$$

$$\underbrace{=}_{\text{l'hopital}}\lim_{x\to0}\frac{-1}{3\cos(x)-2x\sin(x)}=\frac{-1}{3}$$

Answer 2

Puede continuar como lo siguiente : $$\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin^2 x}&=\lim_{x\to 0}\frac{(x\cos x-\sin x)'}{(x\sin^2 x)'}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{\color{red}{\cos x}-x\sin x\color{red}{-\cos x}}{\sin^2 x+2x\sin x\cos x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{\sin x+2x\cos x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{(\sin x/x)+2\cos x}\\&=\frac{-1}{1+2\cdot 1}.\end{align}$$

Answer 3

Enfoque alternativo utilizando series de Taylor:

Utilizando $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$ obtenemos $\ln(\frac{\sin x}{x}) \sim_0 \ln(1-\frac{x^2}{6})$ . Esta expresión tiene la expansión de Taylor $-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$ .

Podemos aproximar el denominador mediante $1-\cos x=\frac{x^2}{2} + o(x^2)$ .

Entonces tenemos: $\frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{1-\cos x} \sim_0 -\frac{x^2}{6} \frac{2}{x^2} = -\frac{1}{3}$ .

Esto no responde exactamente a su pregunta, pero espero que le proporcione un poco de información :)