¿Qué implicaría la conjetura del segmento de la cinta?

Question

¿Qué implicaría la conjetura del segmento de la cinta para topología de 4 dimensiones?
He escuchado a personas hablar de la conjetura del segmento de la cinta como un acercamiento a la conjetura de Poincare lisa 4-dimensional y para la clasificación de las 3-esferas de homología que homología 4 bolas. Pero nunca he entendido lo que estaban hablando.

Answer 1

Creo que de la cinta de opciones-cortar las conjeturas como un deseo que sería simplificar ciertos 4D preguntas. Permítanme explicar esto en 3 ejemplos.

1. Dado un embedded "de la cinta de disco" en el 4-espacio (donde el Morse de la función no tiene máximo local) uno puede empujar en 3-espacio y obtener una inmerso en el disco (cuyo límite es todavía el dado nudo) donde las singularidades son leves: estos son los llamados "de la cinta de singularidades", arcos de doble de puntos tales que en una de las hojas, el arco se encuentra en el interior. (Foto...) Una realidad podría llamar a esta inmerso en el disco en 3-el espacio de una "cinta" (que es permitido para cortar a través de la misma). Contiene la información sobre el disco incrustado en el 4-espacio empujando una hoja de cada cinta singularidad en la cuarta dimensión. Hay una bastante obvia algoritmo de cómo crear todas esas cintas en el 3-espacio, a partir de la desvinculación y la adición de bandas. No tan simples 3D-imagen existe para corte arbitrario discos y uno puede desear que cualquier sector del nudo de la cinta.
2. Un nudo K es una rebanada si y sólo si hay una cinta en el nudo de R tal que el conectado suma K # R es la cinta de opciones. Uno puede desear que uno no tiene que estabilizar.
3. Considerar la monoid M orientados nudos bajo conectado suma. Si K es la inversión de la imagen en el espejo de K, entonces K # (-K) es de la cinta. Así que es muy tentador intentar vez M en un grupo (donde K sería el inverso de K) mediante la identificación de dos nudos K' y K si K' # (-K) es de la cinta. Pero el deseo no se hace realidad: esto no es una relación de equivalencia y si nos obligan a ser uno, a continuación, por los 2 terminamos con el nudo de la concordancia de grupo (donde dos nudos K' y K se identifican si K' # (-K) es una rebanada).

Es increíble que no hay propuso ejemplos de esta conjetura, ni siquiera para los enlaces.

Answer 2

No sé un vínculo real con la suave conjetura de Poincaré, pero el enlace a cobordism para la homología de las esferas es simple. Dada una rebanada de disco, la construcción de un ramificada cubierta de $D^4$, ramificados sobre la rebanada de disco. Que le da un 4-colector de la delimitación de la asociada ramificada portada de el nudo en $S^3$. No me describo como una aproximación a la determinación de que la homología de 3 esferas obligado homología de 4 bolas, pero es una fuente natural de ejemplos, y un enlace. Si algo de la información parece fluir en su mayoría la otra dirección. Por ejemplo, Paolo Lisca el reciente trabajo donde se determina precisamente que conectar-sumas de lente espacios vinculados racional de homología de bolas. Como corolario se deduce del orden de 2-puente de nudos en la concordancia grupo de nudos en $S^3$.

EDIT: No se exactamente a resolver tu pregunta, creo que el trozo de la cinta de la conjetura como un primitivo 4-dimensional de nudos problema. Dada una rebanada de disco, usted podría preguntar si es isotópico a una cinta de disco (si la altura de la función en $D^4$ cuando se limita a la división disco tiene sólo 1 asa y 2-el envío de archivos adjuntos, en ese orden). Usted puede perder hasta una cinta de disco tomando connect-sumas con 2 nudos. Así modulo conectar sumas con 2 nudos es cada rebanada de disco isotópico a una cinta de disco? Tal vez eso es mucho pedir demasiado, así que usted puede pedir el corte de cinta problema.

2ª edición: hasta donde yo sé, el corte de cinta conjetura no tiene mayores consecuencias. Como describo arriba, es más de un "exterior-marcador" tipo de conjeturas. Es una medida de cómo entendemos el nudo de 2 dimensiones cosas en 4 dimensiones de las cosas.

3ª edición: Aquí es un tipo de leve consecuencia de que se me señaló recientemente. En mi arXiv preprint en incrustaciones de 3-variedades en $S^4$ hay Construcción 2.9 que crea incrustaciones de ciertas 3-colectores $M$ en homotopy 4-esferas. El primer paso es encontrar un contráctiles $4$-colector $W$ que los límites de la 3-colector $M$, a continuación, haga doble $W$ para obtener un homotopy $S^4$. Si el enlace utilizado en la construcción es una cinta de enlace, la contráctiles colector $W$ admite un identificador de descomposición con un 0-asa, $n$ 1-asas y $n$ 2 mangos (para algunos $n$) y ninguna de las dimensiones superiores asas. Así que el homotopy $S^4$ construido que contiene $M$ es diffeomorphic a$S^4$, siempre que la correspondiente presentación de $\pi_1 W$ es trivializable por Andrews-Curtis se mueve (identificador de diapositivas para la manija de la presentación). Este argumento aparecerá en el próximo borrador de la ponencia, que deben aparecer antes de enero.

Answer 3

Tengo una pregunta sobre Pedro Teichner la respuesta. No hay candidato contraejemplos, por ejemplo, en el siguiente papel en `la Topología y sus Aplicaciones':

Algunos bien disfrazado de cinta nudos

Robert E. Gompf, 1 y Katura Miyazakib, , 2

Resumen Para ciertos nudos J en S1 × D2, el doble nudo J* en S1 × D2 está definido. Vamos J(O) ser el satélite nudo de la unknot O con el patrón J, y K el satélite de J(O) con el patrón J*. El nudo K, a continuación, los límites suave, un disco en un 4 bolas, pero no es, obviamente, una cinta nudo. Se demuestra que K es, de hecho, la cinta de opciones. También muestran que el conectado suma J(O) # J*(S) es un nonribbon nudo para que todos los conocidos algebraicas obstrucciones a la sliceness desaparecer.