Las pruebas comienzan con los axiomas. Entonces, ¿cuáles son los axiomas que estamos usando?
Dados ciertos axiomas, a veces nos puede resultar de ciertos principios. Otras veces, se asume estos principios, axiomas, por lo que sus pruebas se vuelven triviales.
Permítanme darles un mejor ejemplo. El principio de la inducción matemática es un teorema de los axiomas de $\sf ZFC$. De hecho, el conjunto de la teoría resulta mucho más fuertes principios de la inducción transfinita, y bien fundado de la inducción. Y la inducción matemática se aplica a los números naturales son un fácil corolario de cualquiera de los dos.
Por otro lado, si queremos que nuestra configuración a no ser que los axiomas de la teoría de conjuntos, pero sólo los axiomas de la aritmética, entonces es común asumir el principio de inducción matemática como un axioma (ya sea un primer esquema de orden o de segundo orden axioma).
Por supuesto, podemos idear otros axiomas que no son de la inducción, que puede ser usado para demostrar el principio de inducción. Este es también el caso con la teoría de conjuntos. Podemos reemplazar algunos de los axiomas por lo que es esencialmente una formulación de inducción transfinita, y entonces podemos demostrar que los axiomas que hemos eliminado todavía demostrable.
Y a veces trabajamos en un sistema donde la inducción matemática no es demostrable, o tal vez incluso de falso llano.
En suma, los principios son como axiomas. Estos son los nombres de las declaraciones que consideramos que, filosóficamente, como algo razonable el comportamiento de ciertos objetos matemáticos.
Podemos probar algunos principios matemáticos a partir de ciertos axiomas, o podemos asumir como axiomas por completo. E incluso podemos elaborar principios que son incompatibles el uno con el otro. Debido a que las matemáticas no tienen algún contexto absoluto, sino más bien un montón de diferentes contextos donde los básicos, fundamentales, los axiomas pueden ser diferentes.
Y por supuesto, si usted asume los principios como axiomas, entonces ellos tienen un trivial de la prueba.
