¿Convergencia en intervalos finitos implica convergencia uniforme?

Question

Que $f_n(x) \rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$ % todos $x \in \mathbb{R}$. Esto implica $f_n(x) \rightarrow 0$ uniformemente en intervalos finitos?

Pude creo que podría ser proofen como este tal vez:

1. Que el intervalo de $I$ ser compacto sin pérdida de generalización
2. Elegir un subcover finito $I$
3. tomar $N := \sup N_j$ para la # la #-$\epsilon$% %-prueba

Pero no estoy seguro si está bien así, o si se puede hacer más fácil. ¿Es tal vez un lema conocido?

Answer 1

Para dar otro ejemplo:

Definir $$f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $ $$x \mapsto n^2 (1-x) \left(|(x-1) x|-x^2+x\right) x^n$ $

Si nos fijamos en la trama (o la fórmula), verá que $f_n \rightarrow 0$ pointwise por todas partes pero no converge uniformemente. (Fuera de $[0,1]$ $f_n$ evalúa a $0$).

Answer 2

Yo haya entendido mal la pregunta, pero hay un montón de ejemplos de secuencias de funciones en los intervalos finitos $[0,1]$ que convergen a $0$ pointwise pero no de manera uniforme. En la búsqueda de uno, puede ser más fácil para dibujar gráficos en lugar de tratar de ecuaciones. Estoy pensando en una secuencia que es cero en el intervalo, excepto para un triangular pico de ancho de $ 1/2^n $ que alcanza la altura de la $1$. Podemos ver que para cualquier fija $x$, finalmente los valores de la secuencia de ceros, sino $ ||f_n-0||_{\infty} = 1 $ y, en particular, no tiende a 0 por lo que la convergencia no es uniforme.

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Aquí es un ejemplo claro:

Deje $f_n:[0,1] \to [0,1] $ ser definida como tal: $$f_n(x) = 2^{n+1}x $$ for $0\leq x\leq 1/2^{n+1}$ , $$f_n(x) = -2^{n+1} \left( x- \frac{1}{2^n} \right) $$ for $ 1/2^{n+1}<x\leq 1/2^n$ and $$f_n(x)=0$$ for $ 1/2^n < x \leq 1 $.

Esencialmente, esta es una línea plana, excepto por una triangular pico de$0$$1/2^n$, con lo que la altura del pico de $1$ alcanzado a mitad de camino, en $1/2^{n+1}$.

Answer 3

No, no es así.

Imaginar tuvimos una secuencia de funciones tales que $f_n = x^n$ en el intervalo de $[0,1)$ y $f_n \equiv 0$ en todas partes. Vemos que el $\lim f_n = 0$. Pero no converge uniformemente en un barrio alrededor de 1 (lo hace en cualquier otro lugar, sin embargo, es decir, si saca de cualquier barrio de 1, la secuencia converge uniformemente).

¿Por qué es esto, a pesar de su prueba? Porque usted sea un intervalo compacto WLOG. Bueno, hay una pérdida de generalización.

Answer 4

El contraejemplo suelen utilizar, y me gusta lo estético ya que no necesita una definición por trozos, es $$f_n(x)=4x^n(1-x^n)$$ for $x\in[0,1]$. $f_n (1) = 0 $ for all $n $, and $ f_n (x) \le4x^n$ for all other $x\in [0,1] $. However, $\|f_n\|_ {L ^ \infty} = 1 $ for all $n$.

Answer 5

De hecho es muy fácil de construir una secuencia de $(f_n)$ $C_b(\mathbb{R})$ que es ilimitada (w.r.t. $\lVert\cdot\rVert_\infty$) pero todavía converge uniformemente a $0$ en subconjuntos compactos (y de hecho converge a $0$ pointwise por todas partes):

$$f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \leq x \leq n, \\\\ x-n & \text{if } n \lt x \leq 2n, \\\\ n & \text{if } x > 2n, \\\\ f_n(-x) & \text{if } x < 0. \end{casos} $$

En el intervalo de $n$ $2n$ la gráfica de $f_n$ es sólo el segmento de línea recta a $(n,0)$ y $(2n,n)$.