Demuestre que$y^3=x^2+2^{16}3^9$ no tiene soluciones enteras

Question

Demuestre que$y^3=x^2+2^{16}3^9$ no tiene soluciones enteras.

Deje$k=2^83^4,$ then$y^3=x^2+3k^2=(x+\sqrt{-3}k)(x-\sqrt{-3}k),$ pero eso va a ser complejo.

Me pregunto si hay una mejor manera de resolver este problema?

Edit: Lo siento, esta afirmación NO es verdadera, ya que$1728^3=62208^2+2^{16}3^9.$ vi este problema desde un sitio web, pero ese OP me dio una declaración falsa.

Answer 1

Primero vamos a observar que, para $p=2$ o $3$ si $p\mid x$,$p\mid y$, lo $p^2\mid x$, por lo tanto $p^2\mid y,$ $p^3\mid x.$
Por lo tanto, hay seis casos, respectivamente dadas por las ecuaciones $y^3=x^2+k,$ $k=2^{k_1}3^{k_2},$ donde $k_1\in\{16,10,4\}, k_2\in\{9,3\}.$ En cada uno de estos, $x$ es relativamente primer tanto $2$$3$.
Ahora vamos a $k'_1=k_1/2, k'_2=(k_2-1)/2$ y escribir $y^3=(x-k'\sqrt{-3})(x+ik'\sqrt{-3}),$ donde $k'=2^{k'_1}3^{k'_2}.$
Ahora, por medio de Minkowski obligado, o de cualquier otro estándar de los cálculos, sabemos que la clase de número de $\mathbb Q(\sqrt{-3})$$1$. Por lo tanto, según nuestra hipótesis, sabemos que hay $a,b,c,d\in\mathbb Z$ de manera tal que, establecimiento $\alpha=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}, \beta=a+b\alpha, \gamma=c+d\alpha,$ tenemos que $y=\beta\gamma, x-k'\sqrt{-3}=\epsilon\beta^3, x+k'\sqrt{-3}=\epsilon'\gamma^3,$ donde $\epsilon,\epsilon'$ son unidades.
Ahora el grupo de la unidad de $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ es un grupo cíclico de orden $6$ generado por $\alpha.$, por Lo que todas las unidades son potencias de $\alpha$; decir $\epsilon=\alpha^m$.
La expansión de la ecuaciones, nos encontramos con que $-k'=\pm\begin{cases}3ab(a+b)/2\\(a^3-b^3+3a^2b)/2\\(a^3-b^3-3ab^2)/2\end{cases}.$
Por lo tanto, nuestro problema ahora es examinar de cerca estos $18$ de los casos.
De hecho, este es desordenado y es incompleta, tal y como está ahora.
Tal vez esto no es lo que el OP quiere? Si es así, voy a eliminar de ella. Y gracias por la atención.