Cómo encontrar integral$\underbrace{\int\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}}}}_{n}dx,x>-2$

Question

Encuentre el% integral% #% $

Donde$$\int\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}}}}_{n}dx,x>-2$ define el número del cuadrado

Sé que esto si$n$, entonces dejar$0 \le x\le 2$ $ so$$x=2\cos{t},0\le t\le\dfrac{\pi}{2}$ $ so$$\sqrt{2+x}=\sqrt{2+2\cos{t}}=2\cos{\dfrac{t}{2}}$ $ so$$\sqrt{2+\sqrt{2+x}}=2\cos{\dfrac{t}{2^2}}$ $

Y para$$\int\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}}}dx=\int2\cos{\dfrac{t}{2^n}}(-2\sin{t})dt$ caso, dejo$x\ge 2$, pero para$x=\cosh{t}$ caso, no puedo hacerlo.

Answer 1

Eres demasiado tímido: Para$-2\leq x\leq2$ usa la sustitución$$x=2\cos t\qquad(-\pi\leq t\leq 0)\ .$ $ Entonces todo pasa como antes:$$\sqrt{2+x}=\sqrt{2+2\cos t}=2\cos{t\over2},\quad \sqrt{2+\sqrt{2+x}}=\sqrt{2+\cos{t\over2}}=2\cos{t\over4}\ ,$ $ etcetera.

Answer 2

Para el caso radical de anidamiento finito,$$-4\int \cos\left(\frac{t}{2^n}\right)\sin t\,dt=-2\int \left(\sin(2^{-n}t+t)-\sin(2^{-n}t-t)\right)\,dt$ $$$=-2\left(-\frac{\cos(t(2^{-n}+1))}{2^{-n}+1}+\frac{\cos(t(2^{-n}-1))}{2^{-n}-1}\right)+C$ $

Sustituya$t=\arccos(x/2)$ para obtener la respuesta.

La sustitución es válida para$-2\le x\le 2$.

Espero que esto aborde el problema.

Answer 3

Creo que usted tiene el enfoque equivocado, eche un vistazo a esto

ps

Cuadrado ambos lados

ps

ps

ps

Esto tiene dos soluciones$$f(x) = \sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} $ y$$(f(x))^2 = 2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}} $

Tenga en cuenta que$$(f(x))^2 = 2+f(x) $ no puede ser -1, ya que la raíz cuadrada siempre es positiva para los números reales, y se da que$$(f(x))^2 -f(x)-2= 0 $

Por lo tanto, tiene$f(x)=2$, que es independiente de$f(x)=-1$

La respuesta es por lo tanto, finalmente 2x