Deje $A$ ser una C*-álgebra y deje $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ ser lineal mapa que permutes las coordenadas a través de una permutación $\sigma$. Hay un inducida por el mapa de $K_0(C_0(\mathbb{R}^n) \otimes A) \to K_0(C_0(\mathbb{R}^n) \otimes A)$, y se deja como un ejercicio en varios libros de texto para mostrar que este mapa corresponde a la multiplicación por $(-1)^{|\sigma|}$. Estoy seguro de que esto no es difícil, pero estoy teniendo problemas; este es mi progreso.
Desde permutaciones son producto de transposiciones, reducimos el caso de $n = 2$ $f$ simplemente cambia las coordenadas de $\mathbb{R}^2$. $f$ es homotópica a la mapa $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ $g(x,y) = (-x, y)$ a través de una simple rotación homotopy, por lo que es suficiente para mostrar que el mapa de $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $h(x) = -x$ induce la inversión automorphism en $K_0(C_0(\mathbb{R}) \otimes A) \cong K_1(A)$. Lamentablemente, no veo cómo hacerlo. Estoy seguro de que voy odio a mí mismo cuando yo aprenda.
Gracias de antemano por la ayuda!
Añadido: debería haber mencionado al principio que estoy haciendo esta pregunta a entender una cierta prueba de la periodicidad de Bott teorema, y así que estoy buscando una forma bastante elemental argumento.
