Considere la posibilidad de una enteros modulo n, se define en términos de las siguientes coset del entero de un grupo con la operación de adición, de un coset representante de $a$: $$\overline{a} = \{a + k n \, | \, k \in \mathbb{Z}\}$$
Definimos $\overline{b}$ asimismo, en caso de $a, b < n$. La multiplicación se define de esta manera: $\overline{a} \cdot \overline{b} \equiv \overline{a b}$, en donde este último se $a b$ emplea la costumbre de enteros multiplicación (yo uso $\equiv$ a significar "se define como"). Véase, por ejemplo, Dummit & Foote, sección de Preliminares.
Quería comprobar si este es equivalente a la siguiente definición (no creo es en general, pero estoy teniendo problemas para demostrar si es o no lo es): $$\overline{a} * \overline{b} \equiv \{xy \, | \, x \in \overline{a}, y \in \overline{b}\}$$
Si escribo mi segunda propuesta de definición explícita para el conjunto de los miembros, vas a ver que si es equivalente parece descansar sobre si la siguiente ecuación ha entero de soluciones de $(k,l)$ todos los $N \in \mathbb{Z}$: $$ a l + b k + n k l = N$$
Si esto ha entero soluciones para todos los $N$ determina si el conjunto resultante es igual a la coset $\overline{a b}$ que los resultados de la primera (estándar) definición. Esto se parece a una no lineal de la ecuación de diophantine o similares, que no he abordado antes. Me siento como que estoy overthinking esto o estoy perdiendo algo.
Edit: se me pidió que le muestran cómo he obtenido de la ecuación y por qué debe tener soluciones para todos los $N$. Desde mi definición de $*$, tenemos:
$$ \begin{eqnarray} \overline{a}*\overline{b} &\equiv& \{x y \, | x \in \overline{a}, y \in \overline{b}\} \\ &=& \{ (a + kn)(b + l n) \, | \, k,l \in \mathbb{Z} \} \\ &=& \{ ab + (a l + b k + n k l) n \, | \, k,l \in \mathbb{Z} \} \\ \end{eqnarray} $$
Si las definiciones son equivalentes, el conjunto en el último de la igualdad debe ser el mismo que $\{ab+Nn \, | \, N \in \mathbb{Z}\}$. Para que esto sea cierto, $a l + b k + n k l$ debe abarcar todos los enteros como $N$. Por eso, $a l + b k + n k l$ debe ser surjective en $\mathbb{Z}$, y por lo tanto $a l + b k + n k l = N$ debe tener entero de soluciones de $(k,l)$ para todos los enteros $N$. Recordemos que $a$, $b$, y $n$ son todos fijos.
