En el cierre débil

Question

Deje $\lbrace e_n \rbrace$ para el estándar de la unidad de vectores en $l_2$.

Quiero mostrar que la $0$ está en la debilidad de cierre de $\lbrace\sqrt{n}e_n\rbrace$ pero no subsequence de $\lbrace \sqrt{n}e_n\rbrace$ débilmente converge a 0.

Para la segunda afirmación, tengo la siguiente respuesta.

Si $\lbrace \sqrt{n_k}e_{n_k}\rbrace$ débilmente convergente larga, entonces debe ser la norma acotada. Sin embargo, $\| \sqrt{n_k}e_{n_k}\|=\sqrt{n_k}\to \infty$ $k\to \infty$ lo cual es una contradicción.

Sin embargo, para la primera afirmación, no puedo averiguar de que la diferencia entre la condición de que 0 se encuentra en la debilidad de cierre de la secuencia y la condición de que hay una larga débilmente converge a 0.

Gracias.

Answer 1

La sugerencia de Pedersen, Análisis Ahora : Si$x = \sum \alpha_n e_n$ in$l_2$, entonces no hay$\epsilon > 0$ tal que$|(y|x)| > \epsilon$ para cada$y = \sqrt{n} e_n$.

Answer 2

Problema 28 de Halmos es Un espacio de Hilbert problema del libro dice:

La topología débil de un infinito-dimensional espacio de Hilbert no es metrizable.

Viene con una advertencia, "El menor prueba de ello es difícil." Luego está la pista, "la Construcción de una secuencia que tiene una débil clúster punto, pero cuyas normas tienden a $\infty$." Finalmente, no es la solución, que comienza afirmando y la solución de su problema. El ejemplo es atribuida por Halmos a los Escudos.