¿Es la suma de una matriz de Wishart y una matriz psd determinista "casi Wishart"?

Question

Deje $XX^T$ ser un Wishart matriz, generados por la toma de las columnas de a $X$ a ser yo.yo.d. estándar $p$-variable vectores normales. Deje $AA^T$ ser un no-aleatoria positiva definida la matriz.

A pesar de que no es posible obtener una eigendecomposition por la suma de $XX^T+AA^T$ tan sólo a partir de la información acerca de la eigenstructure de los sumandos, tengo una pregunta básica:

Es cierto que $XX^T+AA^T$ puede ser expresado como $YDY^T$, donde las entradas de $Y$ son yo.yo.d. variables (no necesariamente normal?) y $D$ es un uno mismo-adjoint no negativo de la matriz? (o quizás $D$ es incluso diagonal?)

Esto sería muy interesante, ya que uno podría ser capaz de decir algo sobre el espacio de los vectores propios de la suma sin conocer con exactitud su eigendecomposition.

Edit: Mi intuición es que la suma debe ser Wishart, ya que como recuerdo de la suma de independiente Wishart matrices es Wishart. Las matrices son independientes, y a pesar de que la segunda matriz no es al azar, parece que "desde la perspectiva de $XX^T$, no hay ninguna diferencia entre un Wishart matriz con la expectativa de $AA^T$ $AA^T$ sí. Puede ser esto de manera rigurosa?

EDIT 2 por Favor, tenga en cuenta que yo soy principalmente pidiendo una comprensión de la independencia de las entradas de $Y$.

Answer 1

Usted puede hacer esto con $D$ como la matriz de identidad. Ha $X\in\mathbb R^{p\times n}$$AA^T\in\mathbb R^{p\times p}$. La matriz $XX^T + AA^T$ es una matriz simétrica, con las entradas que son reales, y por lo tanto puede ser diagonalized por algunos ortogonal de la matriz $W\in\mathbb R^{p\times p}$: $$ XX^T + AA^T = W \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \lambda_3 \\ & & & \ddots \\ & & & & \lambda_p \end{bmatrix} W^T $$ donde $\Lambda$ $W$ dependen de la $X$$A$, y el $\lambda$s puede ser tomada $\ge 0$ porque $XX^T+AA^T$ es no negativa definida. Así que ahora vamos a $$ \Lambda^{1/2} = \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_1} \\ & \sqrt{\lambda_2} \\ & & \sqrt{\lambda_3} \\ & & & \ddots \\ & & & & \sqrt{\lambda_p} \end{bmatrix}. $$ Entonces podemos permitir $$ Y = W\Lambda^{1/2} $$ y deje $D$ $p\times p$ matriz identidad, y entonces tenemos $$ XX^T + AA^T = Y D Y^T. $$

Si dejas $X$ variar mientras que $A$ es fijo, se obtiene una función de $X\mapsto Y$.

Todo lo anterior se puede decir sin decir nada en absoluto acerca de la aleatoriedad o distribuciones de probabilidad. Pero ahora si que imponer alguna distribución de probabilidad en la matriz de $X$ mientras dice $\Pr(A=\text{one specified fixed matrix})$, lo que determina una distribución de probabilidad de la matriz $Y$.

Pero $Y D Y^T$ no tiene ni una distribución de Wishart ni un noncentral Wishart distribución a menos que $A=0$. La razón para esto es la siguiente. El conjunto de todos los no-negativo-definido $p\times p$ simétrica matrices con entradas real tiene un natural de orden parcial definido de la siguiente manera: $P\le Q$ precisamente si $Q-P$ es no negativa definida. No es difícil demostrar que satisface la definición de una relación de orden parcial.

Ahora observar que su matriz aleatoria $YY^T$ es apoyado completamente en el conjunto de las matrices de $\ge AA^T$ en este orden parcial. Eso no pasa con el Wishart matrices. Con un Wishart matriz $V$ uno tendría $0 < \Pr(V \le AA^T) \le \Pr(V \not\ge AA^T)$. Considerar, en particular, lo que sucede cuando $p=1$. El apoyo es $[a^2,\infty)$. El apoyo de una central o un no-central de distribución de la chi cuadrado es $[0,\infty)$.