$f_{n}$ converge uniformemente en conjuntos compactos a una función 1-1 implica $f_{n}$ 1-1?

Question

Digamos que tenemos una región $D$ y una secuencia de funciones $f_{n}$ holomorfo en $D$ que converge uniformemente en conjuntos compactos a una función unívoca $f$ . Podemos decir que para cada conjunto compacto $K \subset D$ hay un número $N(K)$ tal que $f_{n}$ es uno a uno para todos los $n >N(K)$ ?

Gracias por cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

Qué tal si usamos el teorema de Hurwitz, esto te da una bola alrededor de cada punto en $K$ en el que $f_n$ y $f$ tienen los mismos ceros, ahora utiliza la compacidad de $K$ .

Edición: Falso si la inyectividad global del $f_n$ es necesario: $f=z$ , $f_n=z+(z^2/n)$ .