Deje $X$ $Y$ dos independientes idénticamente distribuidas al azar las variables con finito expectativa $\Bbb{E}(X) = \Bbb{E}(Y) < \infty$. Demostrar que
$$\Bbb{E}(|X-Y|) \le \Bbb{E}(|X+Y|)$$
Creo que esta desigualdad se puede seguir de alguna manera de la desigualdad de Jensen, pero yo no lo uso aquí. O tal vez vale la pena considerar una expresión de $|x+y|-|x-y|$ y haciendo uso de algunas de sus propiedades?
Estoy interesado en ver una prueba de este hecho o algún favorable ideas que pueden ser de ayuda aquí.
Respuesta
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Tomando integración por partes la integral de Dirichlet, es fácil comprobar que
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos(at)}{t^2} \, dt = \pi|a|. \tag{1}$$
Aprovechando el hecho de que el integrando de a $\text{(1)}$ es no negativo, por el Tonelli del teorema, para cualquier valor real variable aleatoria $Z$ hemos
$$ \pi \Bbb{E}[|Z|] = \Bbb{E}\left[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos(Zt)}{t^2} \, dt \right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\Bbb{E}[\cos(Zt)]}{t^2} \, dt. $$
Por lo tanto
\begin{align*} \pi \Bbb{E}[|X+Y| - |X-Y|] &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Bbb{E}[\cos((X-Y)t)-\cos((X+Y)t)]}{t^2} \, dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Bbb{E}[2\sin(Xt)\sin(Yt)]}{t^2} \, dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\Bbb{E}[\sin(Xt)]^2}{t^2} \, dt \\ &\geq 0. \end{align*}
Además, observe que la igualdad ocurre si, y sólo si $\Bbb{E}[\sin(Xt)] = 0$ todos los $t$. Esto significa que la c.f. $\varphi_X(t) = \Bbb{E}[e^{itX}]$ es un valor real, que es equivalente a la condición de simetría: $X \stackrel{d}{=} -X$.
