¿Por qué el fantasma de Faddeev-Popov no puede existir en la línea externa?

Question

Estaba estudiando la cuantificación de la integral de trayectoria del campo gauge no abeliano. Después de la cuantización de la integral de trayectoria, la acción se convierte en $$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}-\frac{1}{2\zeta}(\partial_{\mu}A^{\mu a})^2 +\partial^\mu\bar c^a(D_{\mu}c)^a$$

Reglas de Feynman para el vértice del bosón antifantasma (por ejemplo $SU(2)$ bosón gauge) es $-g \epsilon_{abc}p_\mu$ . No puedo entender por qué no hay un proceso con fantasma en línea externa.(Por ejemplo, dos bosones gauge se aniquilan y se convierten en fantasma y antifantasma. Ciertamente puedo calcular la amplitud para este diagrama según las reglas de Feynman. )

Ciertamente sé que el fantasma no es físico por lo que no debería existir en la línea externa. Pero quiero saber si ninguna línea fantasma externa puede resultar de la propia teoría (como la amplitud de este proceso puede ser cancelado por algún otro proceso?) o es sólo un axioma que ponemos en esta teoría?

Answer 1

Qmechanic tiene razón, pero su respuesta no explica por qué no podemos considerar a los fantasmas como físicos y terminar con esto.

Hay dos razones principales por las que los fantasmas no pueden considerarse físicos.

1. Violan la espín-estática (los fantasmas son fermiones escalares).
2. El operador de la matriz S, tal como está, no es unitario.

El problema se remonta a la cinemática de la fijación de galgas. Recuerde que en el $U(1)$ caso teníamos una restricción gauge-fixing (por ejemplo, la condición gauge de Lorentz), que después de implementarla como una restricción de operador cuántico $C$ seleccionó un subespacio único $\text{ker} C$ de los estados físicos? Pues bien, aquí nos encontramos con una situación similar, plagada de dificultades técnicas adicionales porque el grupo no es abeliano.

El espacio de Fock del sistema gauge+ghost del Lagrangiano mencionado en tu pregunta no es físico. Contiene estados de norma negativa (al igual que en el $U(1)$ caso). Como ejemplo del estado de norma negativa, consideremos un bosón gauge polarizado en el tiempo $$ a_0^{\alpha\,\dagger} \left| 0 \right>.$$

Al igual que en el $U(1)$ esto puede resolverse implementando una restricción de condición gauge como un operador cuántico y resolviendo Sin embargo, nos encontramos con la siguiente complicación:

Las soluciones de la restricción ya no se descomponen en los subespacios físico y espurio (norma cero) que pueden tratarse por separado, porque la dinámica de la teoría mezcla estos dos subespacios.

Esto puede deberse al siguiente hecho: la ley de conservación de la corriente contiene una derivada covariante en lugar de la ordinaria, mientras que la condición gauge de Lorentz sigue operando con una derivada parcial ordinaria.

Esta dificultad puede resolverse con éxito con la ayuda de la técnica de cuantificación BRST. La existencia de fantasmas es esencial para que el BRST funcione.

En conclusión: la matriz S dada por la cuantización del Lagrangiano de tu pregunta da la dinámica cuántica correcta del campo gauge cuántico, pero sólo cuando se proyecta a un subespacio del espacio Fock ingenuo dado por la cohomología de BRST. También tiene una bonita propiedad de sin mezclar grados de libertad físicos y no físicos, lo que significa que podemos utilizar su forma completa en los cálculos prácticos y sólo proyectar hacia el subespacio físico después.

Que no podemos utilizar el espacio de Fock ampliado es ya obvio por las dos razones expuestas al principio de mi respuesta.

Answer 2

Por un lado, la matriz S no depende de la condición de fijación del gauge. Por otro lado, existe un gauge unitario, donde los fantasmas de Faddeev-Popov se desacoplan de la teoría.

Referencias:

1. M.D. Schwartz, QFT y el modelo estándar, 2014; Sección 28.4.

2. C. Itzykson y J.B. Zuber, QFT, 1985; Subsección 12-5-5.