Muestra que$a^2-1$ es una modificación cuadrática no residente$p$ si y sólo si$p\equiv 6\pmod 7$

Question

Pregunta : Deje el número primo$p>7$, para el entero positivo$a,b,c$ such$1<a<b<c<p$, y$$a+b+c\equiv a^3+b^3+c^3\equiv a^5+b^5+c^5\equiv\frac{p-1}{2}\pmod p$ $

Muestra que:$a^2-1$ es una modificación cuadrática de no residencia$p$ si y sólo si$p\equiv 6\pmod 7$

Creo que la siguiente identidad puede funcionar?

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Answer 1

Desde $ab+bc+ac$ $abc$ son fracciones racionales en $a+b+c,a^3+b^3+c^3,a^5+b^5+c^5$,
usted puede demostrar que para$p \neq 2,3$, $a,b,c$ satisfacer estas relaciones mod $p$ si y sólo si son raíces de una cierta ecuación cúbica.
(de hecho, se obtiene la ecuación de $8a^3+4a^2-4a-1 = 0$)

Resulta que más de $\Bbb C$, sus raíces se $\cos(2\pi/7), \cos(4\pi/7), \cos(6\pi/7)$, por lo que el grupo de Galois de la cúbico es cíclica, y sabemos cómo los factores de mod $p$ según $p$ mod $7$ :

Si $p \neq 7$, el cúbicos ha $3$ raíces mod $p$ fib $p \equiv \pm 1 \pmod 7$, y no tiene ninguna raíz de otra manera.

Por otra parte, $a^2-1 = \cos(2\pi/7)^2-1 = - \sin(2\pi/7)^2 = (i\sin(2\pi/7))^2$, por lo que este tiene una raíz cuadrada $a'$ si y sólo si hay un $7$th raíz de la unidad $a+a' = \exp(2i\pi/7)$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 7$.

Por lo tanto, el cúbicos divide y $a^2-1$ no es una plaza de mod $p$ si y sólo si $p \equiv 6 \pmod 7$.