¿Se puede omitir la integridad del teorema del punto fijo de Banach?

Question

En Kreyszig del Análisis Funcional, la página no. 303, el ejercicio no. 3 dice que la integridad no se puede prescindir de Banach del Teorema de Punto Fijo. Pero si tomamos $f(x)=x^2$ a partir de una incompleta espacio métrico $(-1/3,1/3)$ $(-1/3,1/3)$aquí $f$ es una contracción y esta $f$ tiene un único punto fijo $0$. Aquí he omitido integridad, pero yo todavía estoy recibiendo un único punto fijo - donde estoy equivocado?

De Banach del Teorema de Punto Fijo: Considere la posibilidad de un no-vacío de espacio métrico $X = (X, d)$. Supongamos que $X$ es completa y deje $T: X \to X$ ser una contracción en $X$. A continuación, $T$ tiene precisamente un punto fijo.

Answer 1

"La integridad no puede ser omitido" es justo decir que si $X$ no está completa, no se puede estar seguro de que un punto fijo para cualquier función dada. Esto no significa que usted nunca va a encontrar uno para funciones específicas.

Es como decir que "si $X$ no está completa, no todas las secuencias de cauchy converge". Pero definitivamente, usted puede encontrar algunos de cauchy squences que no convergen.

EDITAR Ahora es interesante investigar cómo el teorema de falla sin integridad:

En primer lugar, he aquí un ejemplo de una contracción definido en un no-espacio métrico completo con ningún punto fijo:

$f:(0,1)\rightarrow(0,1)$ tal que $f(x) = \dfrac{x}{2}$.

Claramente esta es una contracción debido a $|f(x)-f(y)|=\Big|\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}\Big| = \dfrac{1}{2}|x-y|$ cualquier $x, y \in (0, 1)$. Sin embargo, para cualquier $x\in(0,1)$, $f(x)\neq x$, así que no hay ningún punto fijo.

(En el dominio de la naturaleza de la función, el punto fijo sería en $0$, pero usted puede ver que esto está en el límite de nuestra no-conjunto completo.)

En segundo lugar, hay casos donde el espacio métrico siendo incompleta resultados en más de un punto fijo? La respuesta es no. Supongamos $f:X\rightarrow X$ es una contracción y $X$ es cualquier espacio métrico (completa o incompleta). Supongamos $f$ tiene dos puntos fijos en$x$$y$. A continuación,$|f(x)-f(y)| = |x - y|$. Esto contradice la definición de una contracción que exige $|f(a)-f(b)|<|a-b|$ todos los $a,b\in X$.

Answer 2

Además del contraejemplo de Shanye2020 en un intervalo abierto, podemos construir un contraejemplo sobre un subconjunto cerrado de los racionales: take$M=[-\frac13,\frac13]\cap\mathbb Q$, and$f(x)=x^2+\frac16$. Entonces$f(x)$ tiene un punto fijo en$[-\frac13,\frac13]$ como un subconjunto de$\mathbb R$, pero este punto fijo es irracional.