¿Cómo los matemáticos que escribir estándar de números naturales formal de consenso sobre lo que están hablando?
Los matemáticos trabajan en un meta-sistema (que es generalmente de ZFC, a menos que se indique lo contrario). ZFC tiene una colección de números naturales que se automágicamente previstos por el axioma de infinitud. Uno puede fácilmente definir más de ZFC el lenguaje de la aritmética (como en cualquier libro de texto de lógica estándar), y también que el estándar de números naturales son los términos de la forma "$0$" o "$1+\cdots+1$" donde el número de "$1$"s es un número natural. Para eliminar la ambigüedad de estos dos "tipos" de los números naturales, algunos autores lo llaman el estándar de números naturales "estándar de números".
¿Puedo obtener este derecho? Gödel del teorema de la incompletitud se aplica a la primera orden de la lógica de como se aplica a los de segundo orden y superior con el fin de lógica. Así que no hay prácticamente ninguna manera la fijación abajo los números naturales que pensamos en la vida cotidiana?
Sí. Ver este post para la generalización y la prueba de los teoremas de incompletitud que se aplica a todo tipo de sistema formal, incluso si es totalmente diferente de la de primer orden o de orden superior de la lógica.
De primer orden de la lógica no puede ser categórica, es decir no son siempre no-estándar de los modelos.
Sí, así de primer orden PA no precisar los números naturales.
De segundo orden de la lógica es categórico aquí, pero no nos permite probar todas sus declaraciones verdaderas?
Sí; no hay ninguna (computably) efectivo deductivo sistema de segundo orden de la lógica, así que no podemos usar de segundo orden PA como un práctico sistema formal. En primer lugar, el segundo orden de inducción axioma es inútil si no se agregan algunos existencia axiomas. En cualquier caso, la eficacia de cualquier sistema formal que describe los números naturales será incompleta, por el teorema de la incompletitud.
Así que, a pesar de segundo orden PA es categórica (desde la perspectiva de una lo suficientemente fuerte como meta-sistema), el categoricity no resuelve el problema filosófico desde un meta-sistema en sí es necesariamente incompleta y, por tanto, la categoricity de segundo orden PA sólo asegura la singularidad de los números naturales dentro de cada modelo de la meta-sistema, y no se puede establecer ningún tipo de absoluta categoricity.
La definición de los números de la teoría de conjuntos (por ejemplo, ZFC) sufre el mismo problema que todos los de primer orden de las teorías, es decir, que no son estándar en los modelos de ZFC que inducen a los no-estándar de números naturales?
Exactamente; véase el punto anterior.
¿Cómo podemos siquiera saben lo que los números naturales son, si no tenemos ninguna manera de precisar una definición.
Sólo podemos describir lo que nos gustaría ser, y nuestra descripción debe ser incompleta debido a que no podemos transmitir cualquier no-efectivo descripción. PA es un (incompleta) de la caracterización. ACA es otro. ZFC el axioma de infinitud es mucho más fuerte de caracterización. Pero nunca habrá un absoluto categórico de la caracterización.
Usted puede escuchar un común intento de definir los números naturales son aquellos que pueden ser obtenidos a partir de 0 mediante la adición de 1 varias veces. Este es circular, porque "repetidamente" no puede ser definido sin esencialmente a sabiendas de números naturales. Estamos atrapados; nosotros ya debe saber ¿qué son los números naturales antes de que podamos hablar de la iteración. Esta es la razón por la que cada útil fundamentales del sistema para las matemáticas ya tiene algo incorporado para proporcionar este tipo de colección. En el caso de ZFC es el axioma de infinitud.
¿Qué son los números naturales?
Buena pregunta. Pero esto es muy filosófico, así que voy a responder más tarde.
O aceptamos que de segundo orden, la lógica nos da esta definición y no nos acabamos de probar todo lo que hay?
No, de segundo orden PA en realidad no nos ayudan a definir los números naturales. El segundo orden de inducción axioma afirma que "Para cada conjunto de números naturales, ...", pero deja sin definir lo "establecido". Y no es posible definir "set" porque es circular , como de costumbre, y no ayuda el hecho de que la circularidad es atado con números naturales...
Ahora para la parte filosófica.
Hemos visto que matemáticamente no podemos única definir los números naturales. Peor aún, no parece ser ontológico razón para creer en la existencia de una perfecta representación física de cualquier colección que satisface PA bajo una adecuada interpretación.
Incluso si descartamos a las propiedades aritméticas de los números naturales, no existe aún una teoría completa de finito de cadenas, en el sentido de que TC (la teoría de la concatenación) es esencialmente incompleta, a pesar de tener sólo la operación de concatenación y no en las operaciones aritméticas, por lo que no podemos precisar aún el finito de cadenas!
Así que no tenemos esperanza de dar una descripción que identifica de forma exclusiva la colección de finito de cadenas, que naturalmente se opone a hacer lo mismo con números naturales. Este hecho tiene bajo muy débil supuestos, tales como los necesarios para demostrar la incompletitud de Gödel teoremas. Si uno rechaza las... Bueno una de las razones para rechazar de ellos es que no hay aparente modelo físico de PA...
Como ya sabemos en la física moderna, uno no puede tienda de finito de cadenas en cualquier medio físico con alta fidelidad más allá de una cierta longitud, para que seguridad puedo dar una cota superior de a $2^{10000}$ bits. Esto no es sólo debido a que el universo observable es finito, pero también debido a un dispositivo de almacenamiento físico extremadamente de gran capacidad (del orden del tamaño del universo observable) se degrada más rápido que usted puede utilizar.
Así que la descripción de un lado, no tenemos ninguna razón para pensar que el finito de cadenas en tiempo real de la representación física en el mundo real. Este problema no puede ser escapado por el uso conceptual de cadenas de caracteres, tales como las iteraciones de algún proceso en particular, porque tenemos ninguna base para suponer la existencia de un proceso que puede repetirse indefinidamente, bastante debido a la finitud del universo observable, de nuevo.
Por lo tanto, estamos atascados con la incapacidad física para generar incluso todos finito de cadenas, o para generar todos los números naturales en una representación física, incluso si definimos mediante circular de lenguaje natural de definiciones!
Ahora no estoy diciendo que no hay absolutamente ninguna en el mundo real relevancia de los hechos aritméticos.
A pesar del hecho de que la PA (la aritmética de Peano) se basa en la suposición de una colección infinita de números naturales, que como se explicó anteriormente no puede tener una perfecta representación física, PA que todavía genera teoremas que parece ser cierto, al menos en humanos escalas. Mi ejemplo favorito es HTTPS, cuyo proceso de descifrado se basa fundamentalmente en la corrección de Fermat poco teorema aplicado a los números naturales, con una longitud del orden de los miles de bits. Así que hay algo de verdad en PA en humanos escalas.
Esto puede incluso sugerir una manera de escapar de los teoremas de la incompletitud, porque sólo son aplicables a deterministas sistemas formales que a grandes rasgos tiene ciertas ilimitado de cierre de propiedades (consulte este documento acerca de la auto-comprobación de las teorías de la agudeza de los resultados sobre el fenómeno de incompletitud). Tal vez el mundo real, incluso puede ser gobernado por algún tipo de sistema que hace es sintácticamente completa, ya que tiene la 'tolerancia', debido a la mecánica cuántica o las limitaciones espacio-tiempo, pero de todos modos estos sistemas no tienen la aritmética en su totalidad tal y como la conocemos!
