Resolver

Question

Para $u:\mathbb{R}\times [0,1]$ con condiciones de contorno de la $u(0,x)=\cos (2\pi x)$$u(t,0)=u(t,1)$.

Yo tenía esto en un examen y trató de escribir $u$ como un producto de dos funciones de la variable aleatoria y convertir a la educación a distancia en el uso de los métodos habituales, pero las cosas se pusieron desordenado y no pude terminar. También traté de escribir $u$ como una serie de Fourier en $x$ con coeficientes de $a_k(t)$ dependiendo $t$, pero esto también no dan nada.

Hay una forma más inteligente manera de acercarse a este, posiblemente con la serie de Fourier? He oído de un amigo puede ser una transformada de Fourier método puesto que la ecuación fue "homogéneo en el impulso de espacio."

Gracias!

Answer 1

La serie de Fourier método debería funcionar! (Definitivamente, me gustaría ir para la serie de Fourier en lugar de las transformadas de Fourier, ya que su solución está destinado a ser periódico en $x$.)

Habiendo dicho eso, su condición inicial sólo involucra $\cos(2\pi x)$, por lo que yo estaría tentado a probar un ansatz de la forma, $$ u(t,x) = a(t) \cos(2\pi x) + b(t) \sin(2\pi x).$$ El PDE da \begin{multline} \dot a(t) \cos (2\pi x) + \dot b(t)\sin(2\pi x)\\ = (-4\pi^2 a(t)+2\pi b(t))\cos(2\pi x) +(-2\pi a(t)-4\pi^2b(t))\sin(2\pi x).\end{multline} Así que necesitamos para resolver las Odas $$ \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} a(t) \\ b(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -4\pi^2 & 2\pi \\ - 2\pi & -4\pi^2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} a(t) \\ b(t) \end{array}\right]$$ y las condiciones iniciales (que viene a partir de las condiciones iniciales de la PDE) son $$ a(0) = 1, \ \ \ \ \ b(0) = 0.$$ Podemos resolver esta ODA al encontrar los autovalores y autovectores de la matriz. El resultado es $$ \left[ \begin{array}{c} a(t) \\ b(t) \end{array}\right] = \frac 1 2 \left[ \begin{array}{c} 1 \\ i \end{array}\right] \exp((-4\pi^2 + 2\pi i)t) + \frac 1 2 \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right] \exp((-4\pi^2 - 2\pi i)t)$$ es decir, $$ a(t) = \exp(-4\pi^2 t) \cos(2\pi t), \ \ \ b(t) = -\exp(-4\pi^2 t) \sin(2\pi t).$$

Answer 2

Desde $u$ es de 1 periódico en $x$, podemos escribir $$ u(x,t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}a_k(t)e^{2\pi i kx} $$ y nuestra condición de que $u$ ser una solución rendimientos $$ u_t(x,t)=u_{xx}+u_x\implica \sum_{k\in \mathbb{Z}}a_k'(t)e^{2\pi i kx}=\sum_{k\in \mathbb{Z}}(2\pi i k -4\pi ^2k^2)a_k(t)e^{2\pi i kx}\implica $$ dando lugar a la ecuación diferencial ordinaria $$ (2\pi i k -4\pi ^2k^2)a_k(t)=a_k'(t)\implica a_k(t)=C_ke^{(2\pi i k -4\pi ^2k^2)t} $$ y así $$ u(x,t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}C_ke^{(2\pi i k -4\pi ^2k^2)t}e^{2\pi i kx} $$ Con la condición de que $u(0,x)=\cos (2\pi x)$, tenemos $$ \cos(2\pi x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}C_ke^{(2\pi i k -4\pi ^2k^2)t}e^{2\pi i kx} $$ Desde $C_k=\int_0^1\cos(2\pi x)e^{-2\pi ki x}\mathrm dx$, hemos de fuga de todos, pero la $k=1$ términos, con $C_1=C_{-1}=1/2$ que obtiene la solución $$ u(x,t)=e^{-4\pi ^2}\frac{1}{2} e^{2\pi i (x+t)}+e^{-2\pi i (x+t)})=e^{-4\pi ^2}\cos [2\pi (x+t)] $$

Answer 3

En el examen, yo sospecho que ambos tomaron, he resuelto de la siguiente manera (sospecho que esta respuesta va a ser útil, ya que nunca hemos aprendido a emplear series de fourier en nuestra clase la forma en que las otras respuestas proféticamente sugerir):

Supongamos que podemos separar variables;$u(x,t) = X(x)T(t).$, Entonces la ecuación de lee

$$X(x)T'(t) = X''(x)T(t) + X'(x)T(t).$$

Dividir por la solución (si usted se siente incómodo con esto, buscar la "separación de variables " división por cero" para encontrar la correspondiente explicación en este sitio web) para encontrar

$$\frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x) + X'(x)}{X(x)}.$$

Darse cuenta de que cada lado de la ecuación anterior es constante, llamada constante $\chi.$ Resolver la ecuación

$$0 = X''(x) + X'(x) - \chi X(x)$$

por el medio familiar de Matemáticas 27300. I. e., comprometerse con el ansatz $X(x) = \mathrm{Re}(A_n\mathrm{e}^{i \omega_n x})$ y escriba el polinomio característico

$$-\omega_n^2 + \mathrm{i} \omega_n - \chi = 0$$

Luego también imponer la condición de que

$$X(x) = X(x+1),$$

que obliga a que $\omega_n = 2\pi n$ $n \in \mathbf{N}.$

Resolver para $\chi$ en el polinomio característico; entonces volviendo a nuestro variables separadas ecuaciones diferenciales para $T$ podemos escribir

$$T'(t) = \chi T(t) = (-4\pi^2 n^2 + \mathrm{i} (2\pi n))T(t).$$

Usted tenga de nuevo la oportunidad para hacer de su Teoría Básica de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias instructor orgulloso por el empleo de la ansatz

$$T(t) = \mathrm{Re}\left[ B_n \, \mathrm{e}^{(-4\pi^2 n^2 + 2\pi \mathrm{i} n )t}\right]$$

pero sería justamente castigado si no fuera a notar que la solución a la original de la PDE será, por lo tanto obtenido por el Ansatz

$$u(t,x) = \mathrm{Re}\left[ \sum_{n \in \mathbb{N}} \mathrm{e}^{(-4\pi^2 n^2 + 2\pi \mathrm{i} n )t} (a_n \cos(2 \pi x) + \mathrm{i}\, b_n \sin (2\pi x))\right]$$

ya que te das cuenta de que el segundo-el fin de la educación a distancia para $X$ requiere de dos indeterminado constantes por $\omega_n$ y usted debe tomar piezas reales en la final del cálculo para una combinación lineal de los complejos ansätze que cada satisfacer el original de la PDE.

Ahora basta con aplicar la condición inicial. Es más fácil si nos damos cuenta de

$$u(0,x)=\cos(2\pi x) = \mathrm{Re}[\mathrm{e}^{2\pi x}]$$

por lo que podemos utilizar nuestro conocimiento ortogonal de funciones para darse cuenta de

$$a_n = b_n = 1 \, \, \mathrm{for} \, \, n = 1$$

y $0$ lo contrario. Entonces

\begin{align*} u(t,x) &= \mathrm{Re}\left[\mathrm{e}^{(-4\pi^2 + 2\pi \mathrm{i})t}(\cos{2\pi x} + \mathrm{i}\sin{2 \pi x})\right] \\ &= \mathrm{e}^{-4\pi^2 t}[\cos(2\pi t)\cos(2 \pi x) - \sin(2 \pi t) \sin (2 \pi x)]. \end{align*}