Para cualquier $M$, el doble del módulo de $M^*$ puede ser dada la topología de pointwise convergencia (es decir, el producto de la topología considerando $M^*$ como un subconjunto de a $R^M$ donde $R$ tiene la topología discreta). Nota además de que, por cualquier homomorphism $f:M\to N$, la inducida por homomorphism $f^*:N^*\to M^*$ es continua. Finalmente, afirmo que la $M$ es el doble continua de $M^*$ con respecto a su topología, es decir, cada continuo homomorphism $M^*\to R$ es la evaluación en un elemento de $M$.
Para demostrarlo, supongamos $f:M^*\to R$ es un continuo homomorphism. Desde $f$ es continua, $\ker(f)$ es una vecindad de a $0$, lo que significa que hay un número finito de elementos $x_1,\dots,x_n\in M$ tal que para todos los $\alpha\in M^*$ $\alpha(x_i)=0$ $i=1,\dots,n$, $f(\alpha)=0$. Deje $M_0\subseteq M$ ser un finitely libres generados directa sumando de a $M$ que contiene cada una de las $x_i$ (por ejemplo, elegir una base para $M$ y deje $M_0$ ser distribuido por toda la base de los elementos que han coeficiente distinto de cero en algunos $x_i$). A continuación, $f$ se desvanece en el núcleo de el mapa de restricción $M^*\to M_0^*$ y por lo tanto induce un homomorphism $g:M_0^*\to R$. Desde $M_0$ es finitely generado, $g$ está dado por la evaluación en algún elemento $x\in M_0$. De ello se desprende que $f$ también está dada por la evaluación en $x$.
Ahora sigue fácilmente que podemos recuperar $f:M\to N$ $f^*:N^*\to M^*$ mediante la aplicación de la doble continua functor. Por lo tanto si $f^*$ es un isomorfismo, entonces es $f$.
(En otras palabras, el doble dualization argumento funciona incluso en el infinito rango de caso, como siempre que introducir una topología.)
