¿Qué es la geodésica entre dos enfrente de las esquinas del cubo en su superficie?

Question

¿Cuál es el camino más corto entre dos esquinas opuestas del cubo (dos esquinas que no tienen en común ningún borde)?

Answer 1

Solución visual:

Longitud $= \sqrt{2^2 + 1^2} =\sqrt 5.$

Answer 2

Aquí no es una aproximación rigurosa:

La geodésica claramente debe consistir de dos líneas rectas, segmentos en las dos caras conectadas las esquinas opuestas, y debería ser bastante obvio (debido a la simetría) que deben tener el mismo "pendiente" de ancho.r.t. la cara que se encuentren.

Esto resulta en el primer segmento de línea que va desde la esquina inferior derecha de la primera cara (que acaba de empezar aquí arbitrariamente) a la mitad de su borde superior. Este último punto es, entonces, el centro del borde inferior de la segunda cara, a través de la cual la geodésica que se ejecuta, y se conecta a su esquina superior izquierda.

Si estamos tratando con un cubo de lado de la unidad de longitud, la distancia total se convierte en $$2\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=2\sqrt{\frac{5}{4}}=\sqrt{5}$$