¿Qué es "ultrafinitism" y ¿por qué lo personas creo?

Question

Sé que hay algo llamado "ultrafinitism" que es una forma muy radical del constructivismo que he escuchado dicha significa personas no creen que realmente existen números enteros muy grandes. ¿Podría alguien hacer esto un poco más precisa? ¿Hay buenas razones para tomar este punto de vista? ¿Puede conseguir realmente matemáticas hecho desde esa perspectiva?

Answer 1

Ultrafinitism es básicamente recurso limitado constructivismo: las pruebas han constructivo de contenido, y lo que se obtiene de estas construcciones no es mucho más de lo que puso.

Mirando el universal y el cuantificador existencial debe ayudar a aclarar las cosas. Constructivamente, universalmente cuantificado frase significa que si me dan un parámetro, puedo construir algo que satisface la cuantificado predicado. Ultrafinitistically, la cosa se le da no será mucho más grande: en general, un polinomio límite en el tamaño de lo que recibe.

Para existencialmente cuantificada declaraciones, el constructivo de contenido es un par del valor del parámetro, y la construcción que cumple el predicado. Aquí el recurso es el tamaño de la prueba: el tamaño del parámetro y de la construcción estará relacionada con el tamaño de la prueba de la existencial.

Normalmente, la suma y la mutliplication es el total de las funciones, pero la exponenciación es no. Auto-comprobación de teorías son más extremas: la adición es total en la más fuerte de estas teorías, pero la multiplicación no puede ser. Por lo que el recurso enlazado es lineal para estas teorías, no polinomio.

Un problema fundamental con ultrafinitism es que no hay buen ultrafinitist lógicas que sostienen un atractivo fórmulas-como-tipos de correspondencia en la forma en que intuitionistic lógica. Esto hace que ultrafinitism como menos cómoda tipo de contructivism de intuitionism.

¿Por qué la gente cree en ella? Para el mismo tipo de razones que la gente cree en el constructivismo: quieren matemático dice ser respaldado por algo que podemos considerar como el hormigón. Sólo como un intuitionist puede ser molestado por la idea de cortar un balón al que no se pueden medir piezas y volver a ponerlos juntos en dos bolas, una ultrafinitist podría estar preocupado por la idea de que las torres de las exponenciales son formas significativas de la construcción de los números. Wittgenstein sostuvo este punto en sus "Conferencias sobre los Fundamentos de las Matemáticas".

Se puede obtener de matemáticas de hecho desde esa perspectiva? Sí. Si intuitionism es la matemática de la computables, ultrafinitism es la matemática de la factibles computable. Pero la diferencia en la facilidad de trabajar con entre ultrafinitism y intuitionism es mucho mayor que entre intuitionism y clásica de las matemáticas.

Answer 2

La filosofía se explica en Doron Zeilberger del artículo. Básicamente, es la creencia de que hay un mayor número natural!

He oído una historia divertida (sobre Scott Aaronson del blog) acerca de alguien que era un ultrafinitist.

- ¿Crees en el 1?

-Sí, él respondió de inmediato

- ¿Crees en el 2?

-Sí, él respondió después de una breve pausa

- ¿Crees en el 3? -Sí, respondió después de un poco más de pausa - ¿Crees en el 4? -Sí, después de varios segundos

Enseguida quedó claro que iba a tomar el doble de tiempo para responder a la siguiente pregunta como la anterior. (Creo que Alexander Esesin-Volpin fue la persona).

Answer 3

Parece que Zeilberger quiere jugar a ser Dios con las Matemáticas, fundamentalmente la reducción de los cálculos que se pueden observar o reproducir en la realidad física ("lo que los medios"). Así que Si puedo construir una curva tal que la tangente a la curva en un punto dado es de $f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ donde $h$ es un número natural mayor que Zeilberger más grande de número natural, ¿quiere decir que no existe? Me acaba de dibujar en una hoja de papel, donde epsilon y delta son "zoom" para representar. Es la FTC no es válido fuera de Zeilberger la construcción de la realidad? Ultrafinitism es el lado ridículo efecto de pasar demasiado tiempo en la iglesia de Ciencias de la computación, y con el tiempo ir por el camino del Positivismo Lógico.

Answer 4

Greg Egan tiene un poco de diversión con esta idea en uno de sus mejores cuentos, "Luminoso" (publicado en la colección del mismo nombre). Un par de investigadores están explorando una aparente "defecto" en las matemáticas:

"Aún no lo entiendes, ¿verdad, Bruno? Todavía estás pensando como un Platónico. El universo sólo ha sido alrededor de quince mil millones de años. Es no ha tenido tiempo para crear infinitos. El otro lado no puede ir en para siempre-porque en algún lugar más allá de la defecto, hay teoremas que no pertenece a ningún sistema. Los teoremas que nunca ha sido tocado, nunca ha sido probado, nunca se ha prestado verdadera o falso."

Excelente material!