¿Cómo puedo calcular el número de cubos perfectos entre el primer $4000$ enteros positivos?

Question

¿Cómo puedo calcular el número de cubos perfectos entre el primer $4000$ enteros positivos?

¿Hay cualquier truco para resolver este tipo de preguntas?

Answer 1

Si usted vive en el mundo de base 2 geekdom, simplemente tenga en cuenta que $2^{12}$ alias $16^3$ es 4 K o 4096. Esto es obviamente demasiado grande. La estimación de Matemáticas mentales mínimas verificará que $15^3 < 4000$. Hecho.

Answer 2

Se puede encontrar el mayor % de cubo $\le 4000$.

$\sqrt[3]{4000} \approx 15.9$, por lo que hay cubos perfectos con $15$ entre el primer $4000$ enteros positivos.

Answer 3

Si no tienes una calculadora y necesitaba trabajar en lo que el mayor entero $x$ era tal que $x^3\leq4000$ sin apenas computación $\sqrt[3]{4000}$, entonces usted podría estimarlo - $10^3=1000$, $20^3=8000$ % que $10<x<20$. Mantenga estrechamiento hacia abajo, por ejemplo, ir a medio camino $15^3=225\cdot15=2250+1125=3375$ y $16^3=256\cdot16=2560+1536>4000$.

Así que hay $15$.

Answer 4

¿Hay algún truco para encontrar ese tipo de preguntas?

Google, quiero suponer. Creo que quiso decir "para encontrar las respuestas a estas preguntas." Y sí, los hay, aunque a mí me parece demasiado elemental para llamar a un "truco". Al encontrar la cantidad perfecta de $k$-th poderes que hay entre la primera $n$ enteros positivos, usted sólo tiene que calcular $\lfloor \root k \of n \rfloor$. (Tenga en cuenta que si $k$ es incluso, no es estrictamente necesario especificar "positivo", pero su respuesta podría ser apagado por $1$ a partir de la clave de respuestas si no está claro si $0^k$ está destinado a ser incluido.)

Cómo calcular el número de cubos perfectos entre los entre los primeros a $4000$ enteros positivos?

Vemos que $\root 3 \of {4000} \approx 15.874$, y luego de verificar que el$15^3 = 3375 < 4000$$16^3 = 4096 > 4000$. Por lo tanto, los cubos que estás buscando son $$1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375$$ (the first sixteen listed in Sloane's A000578, but with $0$ se omite).