Aquí está una cuidada interpretación de la immanant, que (a mi pesar) que ya apareció en el papel que se hace referencia en el primer comentario. Independientemente, voy a arar adelante y mostrar el resultado desde mi punto de vista (incluso si esta respuesta es un poco larga!). La respuesta es afirmativa: la Schur functors están relacionados con la inmanente, y, de hecho, que "en ella a través de la traza", aunque no en la forma en que me estaba esperando.
En primer lugar, dado un endomorfismo $T: V \to V$, voy a llamar a $S_\lambda T: S_\lambda V \to S_\lambda V$ el resultado de la aplicación de la Schur functor con la partición de $\lambda$: lo que yo llamo $S_\lambda T$ es lo que se llama $\mathrm{det}_\lambda(T)$. Este mapa se muestran en la literatura debido a la functorality de la Schur functor: produce nuevos espacios, así como mapas nuevos, entre los espacios. Esperemos que el resto de esta respuesta le mostrará una aplicación no trivial de este functor, es decir, que usted puede encontrar el immanant $\mathrm{Imm}_\lambda$$S_\lambda$.
Siguiente, dada una transformación lineal $A: V \to V$, el immanant $\mathrm{Imm}_\lambda(A)$ no tiene ningún sentido, porque no es invariante bajo cambios de base. Usted puede ver esta considerando la permanente en un $2 \times 2$ matriz completa de $1$'s, y en el ortogonal similar) de la matriz $\mathrm{diag}(2, 0)$. Así que cuando hablamos de lo inmanente, de manera que necesitamos hablar de una matriz directamente, o lineal en el mapa junto con una determinada base.
Poner este tecnicismo de lado por el momento (vamos a meter a la estándar solamente), una observación interesante es que podemos encontrar la permanente sentado en el simétrica poder! $\mathrm{Sym}^2 \mathbb{C}^2$ base $(e_1^2, e_1 e_2, e_2^2)$, y podemos calcular la acción de una $2 \times 2$ matriz $$A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$$ en base a esto:
$$ \begin{aligned}
(\mathrm{Sym}^2 A) e_1 e_2 = (A e_1) (A e_2) &= (a e_1 + c e_2)(b e_1 + de_2) \\
&= ab e_1^2 + (ad + bc)e_1 e_2 + cd e_2^2
\end{aligned}$$
y por lo que parece que el permanente es el $(e_1 e_2, e_1 e_2)$ matriz de entrada de la transformación de $\mathrm{Sym}^2 A$ (en este!). Debe quedar claro que esto se extiende a $n \times n$ matrices. Si hacemos un cálculo similar para el Schur functor para la partición de $\lambda = (2, 1)$ $3 \times 3$ matriz, usted puede encontrar que la immanant $ \operatorname{Imm}_\lambda(A)$ se puede encontrar como la suma de las dos diagonales de la matriz de entradas correspondientes a la norma de cuadros (recordemos que $S_\lambda \mathbb{C}^n$ tiene de base la semistandard de cuadros en las cartas de $[1, \ldots, n]$).
Lo que nos lleva a la siguiente teorema, que (más o menos) aparece como el Teorema 3 en el documento se hace referencia en el primer comentario. Deje $A \in \mathrm{Mat}_n \mathbb{C}$ $n \times n$ matriz, y $\lambda$ una partición de $n$. $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ actúa de forma natural en $\mathbb{C}^n$, y así podemos aplicar la Schur functor para obtener $S_\lambda A: S_\lambda \mathbb{C}^n \to S_\lambda \mathbb{C}^n$. Tomando la diagonal de las matrices en $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ como el estándar de 'toro', $S_\lambda \mathbb{C}^n$ se descompone como suma de peso espacios. Denotar por $W \subseteq S_\lambda \mathbb{C}^n$ $(1, 1, \ldots, 1)$peso de espacio, de tal manera que $\mathrm{diag}(x_1, \ldots, x_n) w = x_1 \cdots x_n w$ cualquier $\mathrm{diag}(x_1, \ldots, x_n) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$$w \in W$. Denotar por $S_\lambda A |_W$ parte de los a $S_\lambda A$ restringido a $W$ (el bloque de la diagonal en el bloque de la matriz de descomposición). A continuación,$\mathrm{Imm}_\lambda(A) = \operatorname{trace} S_\lambda A|_W$.
Usted puede comprobar rápidamente que esto está de acuerdo en que el factor determinante y permanente de los casos, por la observación anterior. También tenga en cuenta que parece que hemos sustituido una muy coordinar dependiente de la definición de una coordenada libre definición: todavía tenemos las coordenadas colgando, pero han sido tragados por cómo elegimos el toro dentro de $\mathrm{GL}_n$, o igual de bien, ¿cómo podemos poner un $\mathrm{GL}_n$ de representación en $\mathbb{C}^n$. También tenga en cuenta que $S_\lambda A |_W$ es no estándar de notación, ya que $W$ no es un subespacio invariante de $S_\lambda A$: es necesario restringir artificialmente su salida utilizando el peso de espacio de la descomposición de la $S_\lambda \mathbb{C}^n$.
Y ahora la prueba. (Me gustaría fácilmente la recepción de sugerencias, para simplificar/corregir esto). Fijar la notación en el enunciado del teorema. Considere la posibilidad de $(\mathbb{C}^n)^{\otimes n}$, que es un $(\mathrm{GL}_n, S_n)$ bimodule, con la costumbre de acción izquierda de $\mathrm{GL}_n$ y el derecho a la $S_n$ acciones $v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \cdot \sigma = v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(n)}$. Es bien sabido que estas acciones viaje y centralizar el uno al otro, y el bimodule se descompone como
$$ (\mathbb{C}^n)^{\otimes n} = \bigoplus_{\mu \, \vdash \, n} S_\mu \mathbb{C}^n \otimes \Sigma^\mu $$
donde $\Sigma^\mu$ denota la irreductible $S_n$ de representación asociados a $\mu$. Con el fin de encontrar la immanant $\mathrm{Imm}_\lambda A$, vamos a examinar el operador $A^{\otimes n}$ actuando en $(\mathbb{C}^n)^{\otimes n}$, el proyecto es en la partición correcta $\lambda$, restringir aún más a la $(1, \ldots, 1)$ peso de espacio, y finalmente tomar la traza.
El operador $A$ puede ser escrito en el estándar de las coordenadas como $A = \sum_{i, j} a_{ij} e_j \otimes e_i^*$, por lo que su $n$th tensor de energía es
$$A^{\otimes n} = \sum_{\mathbf{i}, \mathbf{j}} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n} e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_n} \otimes e_{i_1}^* \otimes \cdots \otimes e_{i_n}^*$$
si el multi-índices de $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ alcance sobre toda la longitud-$n$ secuencias con las entradas en $[1, n]$. Limitar el peso de espacio $(1, \ldots, 1)$ significa descartar todos los componentes de multi-índices de $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ que no son permutaciones, y así tenemos
$$A^{\otimes n}|_W = \sum_{\pi, \nu \in S_n} a_{\pi(1),\nu(1)} \cdots a_{\pi(n),\nu(n)} e_{\nu(1)} \otimes \cdots \otimes e_{\nu(n)} \otimes e_{\pi(1)}^* \otimes \cdots \otimes e_{\pi(n)}^*$$
Denotar por $P_\lambda \in \mathbb{C}[S_n]$ el proyector en el Specht módulo de $\Sigma^\lambda$: puede ser escrito
$$ P_\lambda = \frac{\dim \Sigma^{\lambda}}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \chi_\lambda(\sigma) \sigma^{-1}$$
y así la traza de $S_\lambda A |_W$ será casi el mismo que el seguimiento de $(A^{\otimes n} |_W) P_\lambda$, pero tenemos que dar cuenta de la multiplicidad de espacio $\Sigma^\lambda$, multiplicando por $\frac{1}{\dim \Sigma^\lambda}$. Así,
$$\begin{aligned}
\operatorname{trace} (S_\lambda A |_W) &= \frac{1}{\dim \Sigma^\lambda} \mathrm{trace} (A^{\otimes n} |_W P_\lambda) \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \chi_\lambda(\sigma) \operatorname{trace} \left(\sum_{\pi, \nu \in S_n} a_{\pi(1),\nu(1)} \cdots a_{\pi(n),\nu(n)} e_{\nu(1)} \otimes \cdots \otimes e_{\nu(n)} \otimes e_{\pi(1)}^* \otimes \cdots \otimes e_{\pi(n)}^* \right) \cdot \sigma^{-1} \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \chi_\lambda(\sigma) \operatorname{trace} \left(\sum_{\pi, \nu \in S_n} a_{\pi(1),\nu(1)} \cdots a_{\pi(n),\nu(n)} e_{\sigma \nu(1)} \otimes \cdots \otimes e_{\sigma \nu(n)} \otimes e_{\pi(1)}^* \otimes \cdots \otimes e_{\pi(n)}^* \right) \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \chi_\lambda(\sigma) \left(\sum_{\pi, \nu \in S_n; \sigma \nu = \pi} a_{\pi(1),\nu(1)} \cdots a_{\pi(n),\nu(n)} \right) \\
&= \sum_{\sigma \in S_n} \chi_\lambda(\sigma) a_{1, \sigma(1)} \cdots a_{n, \sigma(n)} \\
\end{aligned}$$
donde la cuarta línea se sigue del hecho de que $e_i^* (e_j) = \delta_{ij}$, y la última línea de los de siempre suma de grupo simétrico tonterías.
Ahora también tengo algunas preguntas de seguimiento:
- Hemos encontrado que la $\operatorname{Imm}_\lambda A$ es la traza de $S_\lambda A|_W$: lo que hace el resto de $S_\lambda A|_W$ significa?
- Hay una mejor manera de demostrar el teorema anterior?
Y por último, por favor, dime si mi respuesta las necesidades de limpieza o aclaración!
