Cuando la integral de los productos es el producto de las integrales.

Question

Estoy estudiando por mi cuenta y estaba haciendo la siguiente integral:

$$I = \int \frac {e^{ \frac {1}{x}+ \tan ^{-1}x}}{x^2+x^4} dx$$

Lo resolví bien dejando que $u = \frac {1}{x} + \tan ^{-1}x$ .

Mi pregunta es sobre un método alternativo que vi en el que parece que no se aplicó la regla del producto:

$$I = \int \left ( \frac { e^{ \frac {1}{x}}} {x^2} \right ) \left ( \frac {e^{ \tan ^{-1}x}}{x^2+1} \right ) dx$$

$$= \int \frac {e^{ \frac {1}{x}}}{x^2} dx \cdot \int \frac {e^{ \tan ^{-1}x}}{x^2+1}dx$$

Completar el trabajo siguiendo este paso lleva a la misma solución que encontré originalmente.

Es este paso el que me ha confundido. Yo he comprobado con Wolframio y las dos declaraciones son equivalentes pero no entiendo por qué.

¿Por qué podemos escribir la integral de los productos como el producto de las integrales aquí, y no aplicar la regla del producto?

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Por qué podemos escribir aquí la integral de productos como producto de integrales?

Suponga que tiene dos funciones diferenciables $f,g$ tal que $$f'+g'=f'\cdot g' \tag1$$ multiplicando por $\displaystyle e^{f+g}$ se obtiene $$(f'+g')\cdot e^{f+g}=\left(f'e^{f} \right)\cdot \left(g'e^{g} \right) \tag2$$ entonces integrando ambos lados $$e^{f+g}=\int\left(f'e^{f} \right)\cdot \left(g'e^{g} \right) \tag3$$ desde $\displaystyle e^f=\int\left(f'e^{f} \right)$ y $\displaystyle e^g=\int\left(g'e^{g} \right)$ tenemos

$$\int\left(f'e^{f} \right)\cdot \int\left(g'e^{g} \right) =\int\left(f'e^{f} \right)\cdot \left(g'e^{g} \right). \tag4$$

Tomando, $f'=-\dfrac1{x^2}$ y $g'=\dfrac1{1+x^2}$ tenemos $$f'+g'=-\frac1{x^2}+\frac1{1+x^2}=-\frac1{x^2(1+x^2)}=f'g'$$ lo que lleva a $(4)$ con el ejemplo dado.

Answer 2

Dejemos que $F(x)$ , $G(x)$ y $H(x)$ sean antiderivadas de $f(x)$ , $g(x)$ y $f(x) g(x)$ respectivamente. Si $F(x) G(x) = H(x)$ , entonces diferenciando esa ecuación nos da

$$f(x) G(x) + F(x) g(x) = f(x) g(x)$$

o

$$f(x) + F(x) \frac{g(x)}{G(x) - g(x)} = 0$$

(suponiendo que $G(x) \ne g(x)$ ). Dada la diferenciación $G(x)$ con $g(x) = G'(x)$ y asumiendo $G(x) \ne g(x)$ se podría obtener una función adecuada $F(x)$ resolviendo la ecuación diferencial

$$y'(x) + y(x) \frac{g(x)}{G(x) - g(x)} = 0$$

EDITAR: En el caso que nos ocupa podemos tomar $g(x) = e^{\arctan(x)}/(x^2+1)$ y $G(x) = e^{\arctan(x)}$ . La ecuación diferencial se simplifica a $$x^2 y'(x) + y(x) = 0$$ que tiene las soluciones $$y(x) = C e^{1/x}$$ y (para $C=1$ ) este es su $F(x)$ .