Si $\displaystyle {a\over b} = {c\over d}$ $\displaystyle {a+c \over b + d} = {a\over b} = {c\over d}$ ¿por qué?

Question

¿Puede alguien demostrar porqué añadir el numerador y el denominador del mismo resultado de proporciones en la misma proporción? Por ejemplo, desde $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ y $\frac{1+2}{2+4}=0.5$.

Answer 1

Bosquejo: Si usted tiene $\frac{p}{q}$ y \frac{p+\lambda $\frac{\lambda p}{\lambda q}$, entonces $$ p} {q + q \lambda} = \frac{(1+\lambda) p} {q (1 + \lambda)} = \frac {p} {q} $siempre$1+\lambda\not=0$.

Answer 2

Considerar $\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}$, $$\frac{a+ka}{b+kb}=\frac{(k+1)a}{(k+1)b}=\frac{a}{b}, que es exactamente lo que notado, pero con el $a=1,b=2,k=2$

Answer 3

Una solución alternativa, no por menospreciar a las otras respuestas.

$$\begin{aligned} \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad&\Rightarrow\quad\frac{ad}{b}=c&\text{solve for %#%#%}\\ \frac{a+c}{b+d}&=\frac{a+\left(\frac{ad}{b}\right)}{b+d}&\text{substitute %#%#%}\\ &=a\cdot\frac{1+\left(\frac{d}{b}\right)}{b+d}&\text{factor %#%#% from numerator}\\ &=a\cdot\frac{b+d}{b(b+d)}&\text{multiply by %#%#%}\\ &=\frac{a}{b}\quad\blacksquare&\text{cancel %#%#%}\\ \end{alineados}$$

Answer 4

O, con menos variables, usted puede tratar su fracción como reducible a un número $a$ (por ejemplo, un decimal), que se puede escribir como $\frac{a}{1}$. A continuación:

$\frac{a+a}{1+1} = \frac{2a}{2} = \frac{a}{1} = a$